Bienvenue au cinquième module du MOOC Dynamique de l'Information Algorithmique
Comme vous le savez probablement, mon nom est Narsis et aujourd'hui je vais vous parler de systèmes
dynamiques
À la fin du 17ième siècle, Leibniz (1646-1716) et Newton (1643-1727), ont découvert,
indépendamment l'un de l'autre, un outil mathématique brillant: le calcul infinitéssimal (ou le calcul différentiel
et intégral).
Il s'agit d'un outil incroyablement efficace pour prévoir le futur, à condition que le système
en question est régie par des équations différentielles.
L'oeuvre de Poincaré sur la méchanique céleste (Poincarré 1899), et plus précisemment dans un article de 270 pages,
couronné par un prix et initiallement erroné (Poincarré 1890), commenca la théorie qualitative
de systèmes dynamiques.
Les méthodes qui y sont développées ont posé les fondations de l'analyse locale et globale d'équations
différentielles non-linéaires, y compris l'utilisation d'application de Poincarré, de la théorie
de la stabilité pour de points fixes et d'orbites périodiques, de variétés stables et instables et du théorème de
récurrence de Poincaré
Dans ce module, l'idée consiste à vous donner un introduction générique aux systèmes dynamiques.
Nous parlerons de comment des systèmes occupent typiquement qu'un petit sous-ensemble de l'espace global
car ils circulent à travers un ensemble d'états.
Nous parlerons d'attracteurs et du role fondamental qu'ils jouent au sein des dynamiques
d'un système.
Nous discuterons, très brièvement, de régimes chaotiques et complexes consistants de multiples attracteurs
et équilibres.
Le concept de réseaux Booléens, en tant que système dynamique discret, sera introduit et nous
apprendrons comment les analyser.
Voyons ce que nous voulons dire par "système dynamique".
Dans les sciences et les mathématiques, la dynamique est l'étude de comment des objets changent en fonction
du temps, en opposition à la description d'objets simplement avec leurs propriétés statiques.
Les motifs, que nous observons autour de nous, de comment l'état des choses changent, sont
un moyen alternatif à travers lequel nous pouvons décrire des phénomènes que nous voyons dans notre monde.
Un système dynamique est un ensemble d'états possibles, avec une règle qui détermine l'état
présent en fonction d'états passés.
Pour ce qui est des exemples de systèmes dynamiques, vous pouvez penser à n'importe quel système qui evolue dans le temps.
Par exemple, le balancier, l'évolution , l'évolution d'une population de bactérie
ou n'importe quel saison quel cycle qui evolue dans le temps.
Un système dynamique est constitué de deux éléments: l' espace d'état et la fonction. Nous décrivons un tel système avec ces
deux éléments.
Voyons donc ce qu'ils sont.
La dynamique des systèmes est l'étude des choses qui changent dans le temps!
Ces choses sont des états. Un espace d'état est un modèle utilisé en dynamique des systèmes afin de
saisir le changement de l'état du système au fil du temps.
Formellement, l'espace d'état est l'ensemble de toutes les états possibles que peut prendre le système dynamique.
Chacun de ces systèmes correspond à un point unique dans cet espace d'état.
Par exemple, l'état d'un balancier idéalisé est défini de manière unique par son angle et sa vitesse
angulaire, ainsi l'espace d'état est l'ensemlbe des tout les pairs "(angle, vélocité)", qui
forment le cylindre.
En général, tout ensemble abstrait peut être un espace d'état d'un système dynamique quelconque.
Cet ensemble peut etre fini, ne consitant que d'une poignée de points, ou alors consistant d'un nombre infini
de points formant ainsi une variété régulière, comme c'est souvent le cas pour des équations différentielles ordinaires
et des applications.
Un tel espace d'état est souvent appellé espace des phases.