Vamos fazer outro exemplo.

Vamos considerar outro fractal e
calcular a sua dimensão de autossimilaridade.

O fractal que agora vamos
considerar é bastante famoso.

E é conhecido como o
Triângulo de Sierpinsky.

É possível que já tenham
ouvido falar nele.

Aqui estão os passos da sua construção.

Começamos com um triângulo completo
e depois removemos desse triângulo

o triângulo do meio, desta maneira.

E assim ficamos com três triângulo, 1, 2, 3

De cada um dos triângulos obtidos,
removemos o triângulo do meio

Agora temos 9 triângulo,
de cada um deles

removemos o triângulo do meio,
e assim por diante.

E repetindo este método,
obtemos uma forma fractal.

E aqui está o resultado depois
de mais algumas iterações.

E é um fractal porque podemos ver

estes triângulos dentro de triângulos

dentro de outros triângulos
repetem-se em várias escalas.

É autossimilar.

Ok, agora vamos então agora calcular
a dimensão de autossimilaridade.

Portanto, número de cópias pequenas.

Se eu olhar para esta versão aqui,
vejo 1, 2, 3, cópias pequenas

1, 2, 3.
Então o número de cópias pequenas é três.

O fator de ampliação é dois.

Podemos ver que preciso de tirar isto

e esticá-lo por um
fator de dois nesta direção

e de dois nesta direção, para fazer a cópia
pequena do mesmo tamanho da cópia maior.

Acho que também podemos ver isto aqui

neste triângulo, este lado é
metade daquele

a base é metade desta

Portanto, precisamos de ampliar ou esticar
o triângulo por dois

de maneira a fazer com que
fique do tamanho do triângulo todo

Então o fator de ampliação é dois,
e a dimensão é D.

E precisamos de resolver em ordem a D

Logo, mais uma vez, vamos usar logaritmos
para fazer isso e ver o resultado.

Portanto, a equação era três é igual
a dois elevado a D.

Vamos fazer o logaritmos
de ambos os termos.

Usamos a propriedade exponencial
dos logaritmos.

E depois resolvemos para D,
dividindo ambos os termos por log2.

Ok, aqui está a nossa resposta.

A dimensão do triângulo de Sierpinsky
é log3 a dividir por log2.

E podemos obter um valor decimal
aproximado do resultado

usando uma calculadora.

Assim, log3/log2 é igual a

E podemos ver que D é cerca de 1.585.

Desta maneira, outra vez, obtemos uma
dimensão não-inteira.

A dimensão do triângulo de Sierpinsky
está entre um e dois.

Logo, este objeto tem uma dimensão
de cerca de 1.585.

Os próximos questionários dão
a oportunidade de praticar

esta ideia de cacular a
dimensão de autossimilaridade.

Eu darei exemplos de outros fractais

para poderem calcular
a dimensão de autossimilaridade.

Devo mencionar que,
na minha experiência de ensinar isto

Pode, por vezes, demorar um bocado

a ver este fator de ampliação
em cópias pequenas.

É algo tão geométrico e visual

que me é um bocado complicado
explicar por palavras.

Mas fazendo alguns exemplos

Eventualmente, ficará mais fácil
de ver isso.

Portanto, tente fazer os questionários.

Se não os conseguir resolver logo,
não há problema.

Eu vou resolver os exemplos no vídeo
a seguir ao questionário.