U ovom pododeljku naučićemo kako da izračunamo dimenziju određenih matematičkih fraktala Za početak, razmatraćemo veoma jednostavne oblike duži, kvadrate i kocke I razmatrajući ove oblike videćemo kako da generalizujemo našu intuitivnu ideju o dimenziji da bismo mogli da je primenimo na interesantne i važne načine na fraktale Naša početna tačka za priču o dimenziji je da razmatramo koliko manjih kopija nekog oblika staju unutar veće kopije I ja ću ovde napraviti tabelu koju ćemo popuniti i imaćemo tri jednostavna primera Počećemo sa jednom duži Pretpostavimo da imamo duž I onda pretpostavimo da imamo duž koja je tri puta duža 1, 2, 3 I ako pitamo koliko manjih duži staju u ovu veću koja je proširena tri puta, i odgovor je 3 1, 2, 3 manje duži unutar ove veće duži. Dakle za oblik duži, faktor uvećanja je 3, broj manjih kopija u većoj kopiji je 3. I kada kažem faktor uvećanja, znači da moram uzeti manju kopiju uvećanu 3 puta, proširenu 3 puta po ovoj dimenziji da bi ona bila iste veličine kao ovaj veći oblik, veća duž OK, toliko o dužima. Sada ćemo razmatrati kvadrat. Ovde imamo mali kvadrat. Zamislimo da je ovo kvadrat čija je dužina stranice 1 I onda ako bismo imali kvadrat koji ima stranicu 3. Mozemo se zapitati koliko manjih kvadrata staje unutar ovog I ako ih nacrtam ovako vidimo da imamo 1,2,3,4,5,6,7,8,9 9 malih kvadrata koji staju u veći Ovaj ručni crtež nije savršeno idealan posto je ova veličina ista, ovaj kvadrat je isti kao ovaj. Dakle imamo 3 puta 3 jednako 9 malih kvadrata u ovom velikom kvadratu. I veliki kvadrat je uvećan za faktor 3 Proširen je 3 puta u ovom pravcu 3 u tom pravcu I onda ako se vratimo u tabelu Oblik kvadrata Faktor uvećanja 3 Broj manjih kopija unutar veće kopije je 9. Razmotrimo još jedan oblik Kocku Ovde imamo jednu malu kocku I kocka ima stranicu dužine 1 I sada ako imamo kocku koja je 3 puta veća To je sada malo teže nacrtati OK, koliko manjih kocka može da stane unutar ove kocke? Nacrtajmo par linija, koje će možda pojasniti stvari. OK, nije savršen crtež ali nadam se da ilustruje poentu Koliko malih kocki staje u ovu veliku kocku. Imamo ovaj nivo na vrhu 1,2,3,4,5,6,7,8,9 i onda još jedan nivo sa još 9. i još 9 u donjem nivou. Dakle 9 plus 9 plus 9 je 27 Dakle ima 27 manjih kocki u ovoj velikoj kocki A faktor uvećanja je opet 3 Da bismo došli od ove male kocke ili ove male kocke do ove velike moramo uvećati celu figuru 3 puta Što znaci da je 3 puta duga, 3 puta duboka i 3 puta visoka. Sada možemo popuniti tabelu Naš poslednji oblik je kocka Faktor uvećanja je 3 i broj manjih kopija u većoj je 27 Pa da vidimo šta možemo naučiti iz ove tabele Pitanje je koje geometrijsko svojstvo ili osobine ovih oblika odlučuju šta se dešava ovde koje odlučuju koliko manjih oblika staje u veću kopiju. Jer faktor uvećanja za sve ove je isti. Zato je odgovor na ovo pitanje da je u pitanju dimenzija. Duži, kvardati i kocke imaju različitu dimenziju i zato su brojevi koji se pojavljuju ovde različiti. Napišimo relaciju između ovog i ovog koristeći dimenziju. Ovo je jednačina koja povezuje faktor uvećanja i broj manjih kopija u većoj kopiji neke figure. Jednačina je da je broj manjih kopija jednak faktoru uvećanja na D-ti stepen. I D u ovoj jednačino je samoslična dimenzija. Za sada ćemo to kraće zvati samo dimenzija Pošto još uvek nismo razmatrali druge vrste dimenzija. Hajde da razmislimo o ovome. Šta je ovo? Šta nam govori? Počnimo prvo sa kvadratom. Kvadrat ima faktor uvećanja 3 i broj manjih kopija u velikoj kopiji je 9. Koliko je onda D? Vratimo se ovde. Broj manjih kopija je 9 a faktor uvećanja je 3. I pitamo se, OK, šta je dimenzija? Pa, D bi moralo da bude 2. Jer 9 je 3 na kvadrat. Dakle rećićemo da kvadrat ima dimenziju 2. I to ima smisla. To je konzistentno sa našom intuitivnom idejom o tome šta je dimenzija Kvadrat je proširen u 1 i 2 pravca. Pa kažemo da je kvadrat dvodimenzionalan. Možemo uraditi slično sa kockom, prvo sa kockom. Faktor uvećanja je rekli smo da je broj manjih kopija 27. i to će biti faktor uvećanja na D-ti stepen. I vidimo da je u uvom slučaju D=3. Dakle kocka je trodimenzionalna. I to je konzistentno sa našom intuicijom o dimenziji. 1,2,3 pravca za kocku pa lažemo da je 3-dimenzionalna. I možemo uraditi isto za duž. Ova jednačina je malo dosadna. Broj manjih kopija je 3. I faktor uvećanja je 3. I šta je eksponent? 3 na 1. Podsetimo se da je broj dignut na stepen 1 opet taj broj. Na primer, x na 1 je x. Pa imamo da je dimenzija duži 1. Ako se vratimo na ovu sliku. Ovo je ključna jednačina za ovaj odeljak. Faktor uvećanja na D-ti stepen je broj manjih kopija, i D je dimenzija. Ovo je možda neobičan način da definišemo dimenziju. Ali nam govori da su Duži jednodimenzionalne, kvadrati dvodimenzionalni, i kocke trodimenzionalne, kao što i očekujemo. U sledećem videu ćemo gledati da primenimo ovu definiciju dimenzije na fraktal. Ali pre toga predlažem da uradimo kratak kviz da uvežbamo ovu formulu da bismo se uverili da funkcioniše.