En esta subunidad vamos aprender cómo calcular la dimensión de ciertas fractales matemáticas Para empezar, consideramos la más simples de las formas Segmentos lineales, cuadrados y cubos. Y considerando estas formas. Nosotros veremos como generalizar nuestra idea intuitiva de dimensión. Aplicando interesantes e importantes maneras a las fractales. Nuestro punto de inicio es pensar acerca de la dimensión, cuantas copias más pequeñas de una forma encanjan en una copia más grande. Voy a preparar una tabla aquí y la voy a rellenar. Vamos hacer tres ejemplos simples. Para empezar pensaremos en segmentos, y supondremos que yo tengo un segmento lineal como este. Después suponemos que yo tengo otro segmento lineal el cual es de largo tres veces. Y me pregunto cuantos segmentos pequeños caben dentro de este segmento. el cual está estirado por tres. Y la respuesta es 3. 1,2,3 segmentos pequeños, dentro del segmento mayor. Entonces para la forma de una linea, el factor de aumento es de 3, el numero de copias pequeñas en una copia grande es de 3. Y por lo cual quiero decir que por un factor de aumento aquí es lo que yo necesito para tomar una copia pequeña y aumentarla 3 veces, estirada 3 veces en esta dirección. En orden de tener el mismo tamaño tanto como la forma grande, este segmento lineal mayor Ok, todo esto para segmentos lineales. Ahora, vamos a pensar en un cuadrado. Aquí hay un pequeño cuadrado. Imagina que este pequeño cuadrado con un lado de tamaño 1, por ejemplo. Y después que pasaría si yo tuviese un cuadrado con el lado de tamaño 3. Yo puedo preguntarme cuantos de estos pequeños cuadrado caben aquí. Y si los dibujos tal que así. Nosotros podemos ver que 1,2,3,4,5,6,7,8,9 9 cuadrados pequeños encajan dentro del cuadrado mayor Este dibujo a mano alzada no es una idea perfecta sobre como el tamaño es. Este cuadrado es del mismo tamaño que este otro. Así que, hay 3 veces 3 igual a 9 pequeños cuadrado en el cuadrado mayor. Y el cuadrado mayor está aumentado por un factor de 3 Está estirado por 3 en esta dirección, 3 en esta otra dirección. Voy a volver a mi tabla La forma de un cuadrado aumentado por un factor de 3 numero de copias pequeñas in la copia grade es 9. Vamos a pensar acerca de una forma más el cubo. Aquí tenemos un pequeño cubo, y este cubo tiene de lado 1. Y ahora suponemos que tenemos un cubo el cual es 3 veces más grande. Es un poco complicado para mi dibujarlo. Ok, ¿cuantos cubos pequeños caben dentro the este cubo? Voy a dibujar algunas lineas las cuales me permitirán ayudarme Ok, no es un dibujo perfecto pero espero que esto lo ilustre. Vamos a pensar, ¿cuantos de estos pequeños cubos forman parte del cubo grande? Bueno, en la capa de arriba hay 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Y después hay otra capa o porción aquí de 9. Y otra de 9 aquí en la porción inferior. 9 más 9 más 9 son 27 Hay 27 cubos pequeños in el cubo más grande. Y el factor de aumento es otra vez de 3. vamos desde este cubo pequeño o este cubo pequeño aquí hacia el más grande. Necesitaré aumentar la figura entera por 3. Significa que es 3 veces más largo. 3 veces más ancho y 3 veces más alto. Puedo completar la tabla ahora. La última figura fue un cubo. El factor de aumento es de 3, y el número de copias pequeñas dentro del cubo mayor es de 27. Vamos a ver lo que podemos aprender de esta tabla. La pregunta es cuál propiedad geométrica o características de estas formas determinan lo que pasa aquí. Determinamos cuantas copias pequeñas van a la copia mayor. Porque el factor de aumento para todas estas es el mismo la respuesta a la pregunta es la dimensión. Líneas, cuadrado y cubos tienen una dimensión diferente y el número de copias que aparecen aquí son diferentes. Permitame apuntar esta relación entre esto y esto usando la dimensión. Aquí es una ecuación que relaciona el factor de aumento del número de copias pequeñas in una copia mayor de la forma. la ecuación es tal un número de copias pequeñas es igual un factor de aumento elevado a la potencia de D. Y D en la ecuación es la dimensión de auto-similaridad Llamaremos a la dimensión para abreviar ahora. Ya que no hay otra dimensión alrededor de la que pensar. Vamos a pensar acerca de esto. ¿Qué es? ¿Qué está diciéndonos? Vamos a empezar con el cuadrado primero. El cuadrado tienen un factor de aumento de 3. y el número de copias pequeñas en una grande es de 9. Y entonce ¿cuál D debería ser? Vamos a volver aquí. El número de copias pequeñas es 9 y el factor de aumento es 3. nos preguntamos, ¿cuál es la dimensión? Bueno, D debería ser 2. Porque 9 es 3 al cuadrado (elevado a 2). Vamos a decir que el cuadrado tiene una dimensión de 2. Y esto tienen sentido. Esto es consistente con nuestra idea intuitiva de dimensión. Un cuadrado se ha extendido en 1 y 2 direcciones. Pensaremos que el cuadrado es 2 dimensional. Nosotros podemos hacer lo mismo con un cubo, el cubo primero. el factor de aumento el número de copias pequeñas fue determinado en 27. Esto va a ser el factor de aumento a la dimensión D. Y nosotros vemos en este caso. D es 3. El cubo es 3 dimensional. Y es consistente con nuestra noción de dimensión. 1,2,3 direcciones para un cubo. Podemos decir que es 3 dimensional. Y nosotros podemos hacer lo mismo con una linea. Esta ecuación es un poco aburrida. Número de copias pequeñas en el segmento lineal es 3. Y el factor de aumento es 3. ¿Cuál es el exponente? Bueno 3 elevado a 1. Recuerda cuál número elevó a la primera potencia. Es este número. Por lo que, x a la 1 es sólo x por ejemplo. Esto nos dice que la dimensión de una linea es 1. Volviendo a este dibujo. Esta es la ecuación clave de esta unidad. Factor de aumento elevado a D es un número de copias pequeñas y D es una dimensión. Esto es quizás una una manera inusual de pensar acerca de la dimensión. Pero esto nos dice que Lineas son 1 Dimensional Cuadrados son 2 Dimensional y cuadrados son 3 Dimensional como nosotros esperabamos. En el próximo video veremos como aplicar esta idea de dimensión a un fractal. Pero antes de hacer eso sugeriré hacer una pregunta para practicar esta fórmula. para estar seguro que ustedes vean como funciona.