Hola, y bienvenidos a la Unidad 10.
Es difícil de creer, pero ésta es la última unidad del curso.
Así que, no hay realmente ningún material nuevo
pero quiero hacer varias cosas nuevas
para sintetizar, resumir y finalizar.
En esta subunidad, haré un resumen de los temas del curso.
Sólo un rápido recordatorio de los
principales resultados que hemos cubierto
en las últimas 9 semanas.
En las próximas dos subunidades
entrevistaré a otros dos investigadores
primero es Stephen Kellert, que es profesor
de Filosofía en la Universidad de Hamline
y hablaremos acerca de algunos aspectos filosóficos, aspectos conceptuales,
en caos y dinámica. Cómo es la teoría del caos.
Hasta qué punto es un diferente tipo de ciencia,
y otras áreas, y algunos pensamientos generales
sobre el conocimiento interdisciplinar
y ciencia interdisciplinaria.
Stephen Morris, la segunda entrevista,
es profesor de Geofísica en la Universidad de Toronto,
que ha hecho mucho trabajo experimental
en dinámica no lineal, en formación de
patrones espaciales, y hablamos sobre
diferentes experimentos y qué le lleva a
estudiar sistemas de formación de patrones.
Después, haré un tipo diferente de resumen
que será más conceptual y temático.
Quiero extraer, no tanto los resultados técnicos
sino lo que creo que son los grandes temas
y lecciones de los sistemas dinámicos.
Y finalmente, unas observaciones rápidas
para terminar el curso.
Así que, vamos a empezar con una visión
globla de los temas y resumen de lo que
hemos hecho en las últimas 9 semanas.
Vamos a revisar los principales temas
de este curso.
Este curso es sobre sistemas dinámicos,
y un sistema dinámico es un sistema que
evoluciona en el tiempo de acuerdo a
una regla bien definida no cambiante.
Y el estudio de sistemas dinámicos,
como hemos hecho en este curso,
se ocupa de las propiedades generales
de los sistemas dinámicos.
Podríamos clasificar y caracterizar
los tipos de conducta que se ven en los sistemas dinámicos.
Hay otros aspectos de los sistemas dinámicos
que pueden fijarse en áreas particulares y
aplicaciones, pero en este curso introductorio
vamos a tener una visión más general
y símplemente vamos a decir
qué hacen los sistemas dinámicos.
Y veremos 2 tipos de sistemas dinámicos:
funciones iteradas y ecuaciones diferenciales
Así que, empezaremos con funciones iteradas
Y empezaremos con un valor de x
y le aplicaremos una función,
y entonces iteramos este proceso,
lo repetimos una y otra vez,
y obtenemos una secuencia de números,
al que llamamos órbita o itinerario.
Ésto se podría escribir de esta forma.
Y el principal ejemplo que estudiamos
fue la ecuación logística, en el que
la población de conejos en una isla mítica
en el siguiente año es esta función particular
de conejos en el año actual, y quizá
esto tendría que tener subíndice n
por ser exhaustivos... Arreglado
Bien. Estudiamos funciones iteradas, y
también estudiamos ecuaciones diferenciales
Éstas son un poco más difíciles de
trabajar matemáticamente.
Aquí, la variable que vamos a seguir es x,
que es una función del tiempo,
pero viene dado en términos de derivada.
El ejemplo de motivación que hemos visto
fue la ley de enfriamiento de Newton.
Así que, si ponemos una cerveza fría
en una habitación cálida, se...
su cambio de temperatura vendrá dado
por esta fórmula. Ésto dice que
la tasa de cambio de temperatura (T mayúscula es temperatura)
es esta función en particular de la temperatura actual.
Así que, a qué velocidad se calienta, o se enfría negativamente,
depende sólo de la temperatura actual.
De nuevo, ésto es una regla de cómo
la temperatura depende del tiempo.
Un sistema dinámico es sólo una regla
de algo que evoluciona con el tiempo.
Y en este caso, la única diferencia en la regla
es indirecta, y con ello quiero decir que
no dice directamente,
si conocemos el valor actual de temperatura,
cuál será el siguiente valor de temperatura,
sino que especifica cuánto cambia T diciendo
cuánto es la tasa de cambio en cualquier momento.
Así que es indirecto en el sentido de que
implica la tasa de cambio de T o no-T.
Es como si quereis conocer la posición de alguien
cuándo sólo se os ha dado la velocidad.
Ésto puede ser un reto matemático.
Así que hay 3 formas para pensar cómo
resolver ecuaciones diferenciales.
Primero, que no cubrimos en este curso,
es el método analítico, que utiliza el cálculo
para descifrar la fórmula para x(t).
Y si ya habéis dado clases de ecuaciones diferenciales,
habéis dedicado gran parte del tiempo
trabajando en este método de solución.
Creo que es divertido, pero no estoy seguro
de que estos métodos analíticos,
utilizando a veces series de potencias o funciones especiales,
puedan dar más intuición todo el tiempo.
Así que, los métodos analíticos son importantes,
y pueden verse en muchos escenarios,
pero nos vamos a centrar en estos 2 enfoques.
Así que, veremos los métodos de solución cualitativos.
Y dibujaremos una gráfica de f(x), y
la usaremos para encontrar puntos fijos y
soluciones de comportamiento a largo plazo
Ésto no nos dará la curva exacta x(t),
pero nos dirá cuántos puntos fijos hay,
dónde están, cuál es la estabilidad, y
el comportamiento a largo plazo para
todas las condiciones iniciales.
Y nos da información cualitativa y global.
La otra forma en que pensamos para resolver
ecuaciones diferenciales es numérica,
o computacional, o algorítmica.
El principal ejemplo es el método de Euler.
Lo que hace difícil una ecuación diferencial
es que la derivada cambia todo el tiempo.
Así que no podemos decir simplemente
distancia igual a tasa por tiempo.
Sin embargo, simplemente fingimos
que es constante para intervalos pequeños ∆t
y usar ésto como un paso adelante
en el tiempo, intervalo tras intervalo,
y éso nos da la función x(t).
Así que, es un poco tedioso, pero estas cosas
las hacen muy bien los ordenadores,
son muy buenos para hacer cálculos sencillos
una vez tras otra. Así que hablamos un poco
sobre lo que son los métodos numéricos,
y posteriormente en el curso
presento resultados numéricos para
unas cuantas ecuaciones diferenciales.
Así que nos centramos en soluciones cualitativas
y numéricas en este curso.
Debo hablar un poco acerca estas ideas
importantes de unicidad y existencia.
Así, tanto para funciones iteradas como para
ecuaciones diferenciales dignas de estudio,
los sistemas dinámicos, la clave es,
dada una condición inicial, y dada la regla,
símplemente seguimos la regla
y resolvemos la función iterada o
la ecuación diferencial.
La solución existe. Nunca os atascáis y
decís "No puedo hacerlo" o "No hay solución; no hay forma de hacerlo"
Símplemente seguís la regla una vez tras otra
Y ésto puede ser el método de Euler
o símplemente funciones iteradas.
Y ésto siempre que la parte derecha de la
ecuación diferencial tenga buen comportamiento
es decir, no tenga infinitos, o discontinuidades, etc.
Es más, esta solución es única.
si comienzo con una condición inicial y una regla,
y alguien en otra parte del planeta empieza
con la misma condición inicial y la misma regla,
encontraremos la misma solución.
Hay una y solo una solución.
Así que diré que la condición inicial y la regla
determinan el comportamiento futuro.
Es sistemático hacer el cálculo para resolverlo.
Creo que tengo que decir en este momento
que casi parece que el problema está resuelto.
Tenemos estas ecuaciones, y sabemos
que hay una solución, y sabemos que
la solución existe, sabemos que es única,
tenemos un método para resolverlo.
Debe ser aburrido desde este punto,
pero lo que creo que es interesante
de los sistemas dinámicos, es que algo
que parece aburrido, una función iterada,
resulta que produce algo que es
siempre interesante y sorprendente.
Y una de las primeras sorpresas que vimos
fué el caos, el comportamiento caótico.
Y vimos que un número de sistemas diferentes
primero vimos que la ecuación logística,
cuando r es 4.0, y recordad que el sistema
es caótico en el sentido matemático,
si tiene las siguientes propiedades:
el sistema dinámico es determinista,
la órbita está delimitada, aperiódica,
y tiene dependencia sensible de las
condiciones iniciales, el efecto mariposa.
Entonces, nos centramos un poco más en esta propiedad.
Dependencia sensible en las condiciones iniciales
tiene implicaciones importantes.
El efecto mariposa dice que para cualquier
condición inicial, hay otra condición inicial
muy próxima, tan próxima como puedas,
que finalmente acaba muy alejado.
Y lo que ésto significa es que para
predecir la conducta de un sistema con
dependencia sensible en las condiciones iniciales,
requiere conocer las condiciones iniciales,
los valores iniciales, medir el número de conejos,
o lo que quiera que tratéis de estudiar,
necesitáis conocer las condiciones iniciales
con una precisión imposible.
El caso es que mayor precisión de los datos,
mayor precisión de las condiciones iniciales,
da mayor precisión de predicción del modelo.
Pero necesitáis aumentar la precisión de
las medidas de una forma extraordinaria,
por ejemplo, incluso duplicarla,
hasta donde se puede predecir.
Así que vimos un ejemplo en el que
dos diferentes condiciones iniciales que
diferían, creo que por un par de átomos,
o una gran molécula, pueden producir
una gran diferencia en la trayectoria
del sistema, sólo 5-10 minutos después.
Así, la dependencia sensible de las
condiciones iniciales tiene esa curiosa
propiedad determinista que está
gobernada por una regla fija no cambiante,
sin aleatoriedad en ella. Sin embargo,
es impredecible a largo plazo.
Ésto nos lleva a preguntarnos por esta
noción de aleatoriedad, y lo que presento
es una noción de aleatoriedad algorítmica
y la idea clave es que una secuencia aleatoria
es una que es incompresible.
Si se pudiera comprimir,
habría alguna regularidad que se podría
utilizar como descripción más corta.
Pero si no hay regularidades, es una secuencia
aleatoria, entonces debe ser incompresible.
Y argumenté que para la ecuación logística
con r=4, casi cualquier condición inicial
produce una secuencia que es aleatoria
en el sentido de que es incompresible
en este sentido algorítmico.
Así que la ecuación logística, de algún modo,
no se comporta como si fuera aleatoria,
de hecho es aleatoria en el sentido
produce un resultado aleatorio, incluso
siendo un sistema dinámico determinista.
Este es un argumento sutil que tiene muchos
pasos para saltarse en este resumen
y hay muchos pasos en la discusión principal
y es complicado, e implica el entrenamiento
de la lógica, y hay muchas cosas interesantes
y objeciones en las que intentaré no entrar.
Sin embargo, dejaremos ésto, y no
enumeraremos todo el proceso que
no es el propósito de este sumario.
El punto principal es que tenemos un
sistema dinámico simple que, en este sentido,
produce resultado aleatorio.
Otro punto que merece la pena resaltar,
como revisamos y resumimos, es que
estudiamos dos tipos de sistemas dinámicos,
una ecuación diferencial unidimensional,
y funciones iteradas.
Y, aunque ambas son bastante similares,
son diferentes y hablé de ellos de forma
similar como sistemas dinámicos.
Símplemente una regla de cómo algo
cambia con el tiempo.
Ambos tienen diferentes propiedades matemáticas
que es importante notar.
Así, para las funciones iteradas,
el tiempo se mueve a saltos.
Hay un valor de x en el paso 1, paso 2, paso 3
pero no parece que haya un valor
en el tiempo 1.2.
Conforme el tiempo se mueve a saltos
paso 1, paso 2, paso 3
y x también se mueve a saltos
x puede ir de .6 a .4, y no tiene sentido
que tenga que pasar por los
valores intermedios entre .6 y .4,
simplemente salta.
Y como resultado, son posibles
los ciclos y el comportamiento caótico
para funciones iteradas unidimensionales.
Las ecuaciones diferenciales unidimensionales
son diferentes; el tiempo es continuo.
Ésto es la población, que tiene un valor
en cada instante temporal;
el tiempo no parpadea de un paso a otro,
fluye continuamente, y de la misma forma,
la presunción es que P es también continuo
Así que si vemos un P de 50 y un momento
después vemos un P de 100, sabéis que P
tiene que haber pasado por todos los
valores intermedios entre 50 y 100.
Y por ésto, el requerimiento de estos
sistemas son deterministas,
significa no sólo que el caos no es posible,
pero incluso los ciclos son imposibles,
porque la tasa de cambio de P,
si aumenta o disminuye, depende
sólo de la población, y por tanto,
es imposible obtener ciclos, porque
significaría que para una población dada,
tendríais que tener a veces aumento,
y a veces disminución.
Así que, en cualquier caso, el determinismo
en esta continuidad, limita el rango de
comportamientos que podemos ver
en una ecuación diferencial unidimensional
pero no en funciones iteradas unidimensionales.