Resumamos la Unidad Seis.
Esta Unidad abordó el fenómeno de la universalidad.
Comencé con una observación; funciones diferentes tienen diagramas de bifurcación similares.
Tratamos la ecuación logística en Unidades anteriores y exploramos su diagrama de bifurcación con gran detalle.
Sin embargo en esta Unidad, estudiamos otras dos funciones; la función cúbica y la función seno.
Estas funciones se parecen en que todas tienen un único máximo y que ese máximo no es "puntiagudo", sino cuadrático.
Sin embargo, estas funciones tienen diagramas de bifurcación muy similares.
No son absolutamente idénticas, pero sí muy similares y , particularmente, observamos estas estructuras de período de duplicidad aparecer de forma recurrente
a través de diferentes diagramas de bifurcación y también vemos período de duplicidad en diferentes puntos dentro del mismo diagrama de bifurcación.
Así que eso nos conduce a analizar geométricamente el período de duplicación.
Aquí está un bosquejo del período dos duplicándose a período cuatro, duplícandose a período ocho.
Como dijimos, ¿Qué podemos decir geométricamente sobre esto?
Bien, definamos la longitud de esta rama como uno delta, delta dos como la de esa rama, delta tres como la longitud de esa rama,
así que eso es lo que esta ecuación dice aquí.
Los valores "r" son uno o dos o tres, son los valores a los cuales estas bifurcaciones ocurren.
Y entonces delta minúscula "n" es solamente la proporción de una longitud respecto a la siguiente.
Así que delta "n" nos dice cuántas veces más larga es ésta en comparación con ésta, eso sería delta uno.
Delta dos nos diría cuántas veces más larga es ésta en comparación con ésta, etcétera.
Así que eso es delta, y la calculamos para unas cuantas funciones diferentes.
Y el resultado principal es que delta "n", cuando "n" se acerca a infinito y se hace grande, se aproxima a este número delta y el valor de este delta es universal.
Así que delta es un valor de delta "n" para una "n" grande a medida que avanzamos hacia períodos más largos.
Delta es universal, esto significa que tiene el mismo valor para todas las funciones f(x) que mapean un intervalo para si misma y que tiene un único máximo cuadrático.
Bueno esa es una familia de funciones bastante amplia, casi cualquier función con un único máximo en algún intervalo.
Experimentará duplicidad de período y lo hará de tal forma que la proporción de una bifurcación respecto a la otra y a la siguiente se aproxima al mismo valor: 4.669201
El valor de este número es comúnmente llamado constante de Feigenbaum.
Así que este es el fenómeno de universalidad en mapas, funcines unidimensionales que obedecen este criterio tendrán la misma delta y la misma proporción.
Después dije que resulta que también podemos encontrar universalidad en sistemas físicos. Particularmente, la ruta de duplicidad de período es observada en sistemas físicos.
Allí, el parámetro puede ser algo como tasa de flujo o la diferencia de temperatura en un experimento de rollo de convección,
la diferencia entre la temperatura en la parte superior e inferior.
Así que en lugar de tener esta "r", que acabamos de ajustar en la computadora, tenemos algo más que ajustamos en un experimento físico real.
Pero podemos definir delta y medirla de la misma forma para estos sistemas,
y los resultados que uno obtiene son consistentes con este valor universal.
No concuerdan exactamente debido a error experimental, y esto también dice que no esperamos este valor exacto hasta valores "n" más grandes
y usualmente podemos observar únicamente unos cuantos duplicidad de períodos.
Esto también nos dice cómo estos simples sistemas unidimensionales capturan algunas propiedades de sistemas físicos complejos
como grifos goteantes, algunos circuitos eléctricos y rollos de convección en ciertas geometrías.
De alguna forma, en cierto sentido, solamente hay una manera de obtener esta transición de duplicidad de período hacia el caos.
Esos cuantiosos números de sistemas, matemáticos y físicos experimentan duplicidad de períodos de la misma forma,
gobernados por esta proporción.
Así que hay algo común acerca de todos estos sistemas diferentes, y no solamente algo como: "Sí, son un poco parecidos",
sino que obtenemos este número, algo que puedes ir y medir.
Así que por último, traté de explicar cómo la universalidad es posible. Existen dos partes en esto.
Una de ellas es ¿cómo es posible en mapas unidimensionales?, y la segunda es ¿qué tienen que ver mapas unidimensionales con los sistemas físicos reales?
Para la primer pregunta, ¿cómo es posible la universalidad en mapas unidimensionales?, eso puede explicarse muy bien mediante una teoría matemática,
o un conjunto de técnicas llamadas re-normalización o el grupo de renormalización.
Re-normalización es una técnica en matemáticas y física, en la cual uno cambia la escala de longitud y luego observa cómo otras propiedades del sistema cambian.
Para algunos tipos de transiciones existe cierto tipo de estructura fractal, las propiedades son independientes de la longitud.
Este fue el caso para el diagrama de bifurcación.
Observamos una estructura fractal en el diagrama de bifurcación para la ecuación logística y otras ecuaciones.
Vemos esos tridentes o árboles repitiéndose una y otra vez mientras nos acercamos más y más.
Este hecho, o realización, de que algunas propidades son independientes de la longitud, junto con esta maquinaria matemática para cambiar longitudes,
conducea algunas técnicas que pueden ser usadas para derivar exponentes críticos.
Este es un término proveniente de física estadística y delta es un ejemplo de exponenete crítico.
La re-normalización también explica porqué algunos detalles en los modelos no importan.
Así que en sistemas dinámicos, podemos tener muchas condiciones iniciales diferentes arrastradas al mismo punto fijo de atracción.
Cuando aplicamos re-normalización, uno tiene diferentes funciones, que van a la misma función de atracción universal.
Así que los detalles de esas condiciones iniciales, o los detalles de esas funciones, logística, cúbica, etcetera, no importan para este comportamiento universal.
Debería decirlo una vez más: la universalidad es un resultado impresionante.
Es un increíble hecho matemático que estas funciones diferentes tengan los mismos, o casi los mismos, diagramas de bifurcación y esta misma proporción : 4.669201
pero lo que realmente es impresionante es que este número, 4.669, puede también ser encontrado en experimentos físicos.
Que los sistemas físicos reales, mucho más complicados que las funciones unidimensionales, muestran transiciones de duplicidad de período hacia el caos
y que ciertas propiedades de estas transiciones son universales - las mismas a través de un gran, gran rango de sistemas.
Creo que este es un resultado bueno y excitante muy de acuerdo al espíritu de la física, que dice: hay un cierto mecanismo común o estructura común
a través de un rango de fenómenos que inicialmente podrían parecer bastante diferentes, distantes y sin relación.
La cuestión es entonces, ¿qué tiene que decir el fenómeno de universalidad sobre el estudio de sistemas complejos?
Aquí me refiero a sistemas con muchas partes interactuando, sistemas biológicos, sistemas económicos, ecologías complicadas con muchos individuos interactuando.
¿Esperaríamos observar transiciones universales en ésos, de la forma en que lo hacemos en relativamente simples sistemas físicos, y en extremadamente simples sistemas matemáticos?
Bueno, creo que la respuesta aquí, siendo honesto,es: nadie sabe a ciencia cierta.
Mi opinión, y solo para ser claros, esto no es apoyado por nadie, es que la universalidad en el sentido exacto que hemos descrito aquí,
exponentes críticos, cosas como delta, es probable que no aparezca en el estudio de sistemas complejos.
Ciertamente creo que observaremos similaridades entre sistemas complejos aparentemente diferentes, eso es algo así como una de las premisas centrales del estudio de sistemas complejos.
Pero dudo que las similaridades serán tan exactas, tan cuantitativas, como lo son para la universalidad en la duplicidad de períodos y fenómenos relacionados,
de la forma en que lo hemos discutido en esta Unidad.
Finalmente, quisiera decir unas palabras respecto fractales y la transición de comportamiento periódico a caótico.
En los diagramas de bifurcación que hemos estudiados esta Uunidad, observamos cierto tipo de transición de comportamiento periódico a caótico,
una transición ordenada -desordenada. Las duplicidades de períodos se acumulan y el sistema se vuelve caótico.
Esta transición es acompañada por comportamiento fractal y observamos esto en el diagrama de bifurcación
Esas bifurcaciones de duplicidad de períodos, esos tridentes, esas ramas en el diagrama,
las observamos una y otra vez en todas las escalas, esto es un ejemplo de un fenómeno fractal.
Y el número 4.669 es como una clase de dimensión fractal, nos dice que tanto más grandes las ramas grandes son en comparación a las ramas a una escala dada.
En este caso, observamos una transición ordenada - desordenada y esto está asociado con algún tipo de comportamiento libre de escala o fractal.
En el mundo físico y natura, y aún en el mundo social, observamos muchos ejemplos de comportamiento de escala libre.
En distribuciones de terremotos y sierras, en poblaciones de ciudades, existen todo tipo de fractales a todo lo largo del mundo físico y natural.
De hecho muchos sistemas que creímos como sistemas complejos tienen algún tipo de carácter fractal en ellos.
Sin embargo, eso no quiere decir que estos sistemas está necesariamente balanceados en el límite de alguna transición ordenada - desordenada, a punto de entrar en caos.
La razón por la que digo que existen muchas maneras diferentes de hacer estas distribuciones fractales, estas llamadas "power-laws".
Cuando uno observa "power laws" en un sistema, existen muchas explicaciones posibles.
Muchos mecanismos diferentes dan origen a "power laws" y fractales en sistemas físicos, sociales y naturales.
No tiene que ser el resultado de una transición ordenada- desordenada o de algún punto al borde del caos.
Una nota de advertencia porque no estoy seguro de que el punto que acabo de hacer sobre la existencia de diferentes mecanismos para fractales es ampliamente aceptado.
Creo que algunas veces las personas, particularmente físicos, se emocionan tanto con el fenómeno de la universalidad, y es extraordinario,
como me has escuchado mencionar, que quizás nos dejamos llevar un poco y lo extendemos más allá del rango que deberíamos.
Existen muchas formas de convertir fractales en una transición ordenada - desordenada o en general una fase de transición del tipo universal del cual he estado hablando, es solamente una forma posible.
Esto nos lleva al final de la Unidad de los Seis sobre la universalidad.
En la siguiente Unidad, Unidad Siete, regresaremos a las ecuaciones diferenciales, y estudiarémos ecuaciones diferenciales en dos y tres dimensiones
y esto nos conducirá a la noción de espacio de fase, una de las abstraciones verdaderamente importantes de el estudio de sistemas dinámicos.
Es una herramienta geométrica y analítica realmente útil.
Y luego en la Unidad después de esa, estudiarémos cómo atractores extraños se desarrollan en el espacio de fase.
Así que, nos vemos la siguiente semana en la Unidad Siete.