إذاً دعونا نلخص الوحدة السادسة.
لقد كانت هذه الوحدة عن ظاهرة الشمولية.
لقد بدأت بملاحظة: دوال مختلفة لديها رسوم تشعب بيانية متشابهة.
لقد نظرنا إلى المعادلة اللوجيستية في الوحدات السابقة، واستكشفنا رسم التشعب البياني خاصتها ببعض التفصيل إلى حدٍّ ما.
لكن في هذه الوحدة، لقد نظرنا إلى دالتين آخرتين: الدالة التكعيبية ودالة الجيب.
هؤلاء الدوال كلهم متشابهين حيث لديهم حد أعلى واحد وذلك الحد ليس مدبب، إنّه كحد أعلى تربيعي.
لكن لديهم رسوم تشعب بيانية تبدو مشابهة جداً.
إنّهم ليسوا متطابقين كليّاً، لكنهم متشابهين جداً، وخاصةً نرى بنية تضاعف الدورة هذه تحدث مرة بعد مرة
عبر رسوم تشعب بيانية مختلفة وأيضاً ضمن رسم التشعب البياني نفسه ونرى تضاعف دورة عند نقاط مختلفة.
إذاً لقد قادنا ذلك لننظر هندسياً إلى تضاعف الدورة. إذاً ها هنا رسم لتضاعف دورة 2 إلى تضاعف 4 إلى 8.
ولقد قلنا حسناً - ماذا يمكننا أن نقول هندسياً عن ذلك؟
إذاً حدد دلتا 1 لتكون طول هذا الفرع، دلتا 2 لتكون طول لذلك الفرع، دلتا 3 لتكون طول ذلك الفرع،
إذاً ذلك ما تقوله هذه المعادلة هنا.
قيم r هي 1 أو 2 أو 4 هي القيم التي تظهر عنها هذه التشعبات.
ومن ثمّ دلتا الصغيرة n هي فقط نسبة طول واحد إلى آخر.
إذاً دلتا n تخبرنا كم عدد المرات هذه أكبر من هذه - سيكون ذلك دلتا 1.
دلتا 2 ستخبرنا كم عدد المرات هذه أكبر من هذه، وهكذا.
إذاً تلك هي دلتا، ونحسبها لبعض الدوال المختلفة.
والنتيجة الرئيسية هي أنّ دلتا n بينما تقترب n من اللانهاية وتصبح أكبر، تقترب لهذا العدد دلتا وقيمة الدلتا هذه شاملة.
إذاً دلتا هي قيمة لدلتا n من أجل قيم كبيرة لـ n بينما ننظر لدورات أكبر أكثر وأكثر.
إذاً دلتا شاملة، ومايعنيه ذلك أنّها لديها نفس القيمة لكل الدوال (f(x التي تنظم فاصل لنفسها ولديها حد أعلى واحد من الدرجة الثانية.
إذاً هذه عائلة كبيرة من الدوال، تقريباً أي دالة لديها حد أعلى على مجال ما.
سوف تخضع إلى تضاعف دورة وستفعل ذلك بطريقة بحيث تكون نسبة تشعب واحد للتشعب التالي تقترب لنفس القيمة 4.669201.
قيمة هذا العدد معروفة غالباً بثابت Feigenbaum.
إذاً تلك هي ظاهرة الشمولية في الخرائط، الدوال أحادية البعد التي تمتثل لهذه المعايير سيكون لديها نفس الدلتا، نفس النسبة.
ثمّ قلت لقد تبيّن لنا أنّنا نستطيع أن نرى أيضاً الشمولية في الأنظمة الفيزيائية. خاصةً، مسار تضاعف الدورة في الأنظمة الفيزيائية المُلاحَظة.
هناك الوسيط الذي قد يكون شيئاً ما كمعدل التدفق أو الاختلاف بين درجة الحرارة في تجربة لفائف الحمل الحراري،
الاختلاف بين درجة الحرارة في القمة والقاع.
إذاً بدلاً من وجود هذه الـ r، التي ضبطناها على الحاسوب، لدينا شيءٌ آخر الذي ضبطناه في تجربة فيزيائية حقيقية.
لكن نستطيع تحديد دلتا وقياسها بنفس الطريقة لهذه الأنظمة،
والنتائج التي يحصل عليها أحدٌ ما ملائمة مع القيمة الشاملة هذه.
لا يتطابقوا تماماً بسبب الخطأ التجريبي، وهذا يخبرنا أيضاً ألا نتوقع هذه القيمة الدقيقة حتى الوصول لقيم كبيرة من أجل n،
وعادةً نستطيع أن نراقب بعض تضاعفات الدورة.
لكن ما يقوله كل هذا أنّه بطريقةٍ ما الأنظمة أحادية البعد هذه تلتقط بعض ميزات الأنظمة الفيزيائية المعقدة،
مثل الصنابير التي تنقط، دارات إلكترونية معينة، ولفائف الحمل الحراري في هندسة معينة.
بطريقة ما، بمعنى معين، هناك طريقة واحدة لوجود انتقال تضاعف الدورة هذا في الشواش.
حيث أعداد كبيرة جداً من الأنظمة، تخضع الأنظمة الرياضية والأنظمة الفيزيائية لتضاعف دورة بنفس الطريقة،
محكومة بهذه النسبة.
إذاً هناك شيءٌ مشترك حول كل هذه الأنظمة، ولا نقول فقط "إنّهم متشابهين نوعاً ما"،
لكننا نحصل على نفس العدد، شيءٌ ما يمكنك أن تخرج وتقيسه.
إذاً أخيراً، لقد حاولت أن أفسر إمكانية الشمولية. هناك جزئين لهذا.
أحدهما هو كيف هي ممكنة في الخرائط أحادية البعد، والجزء الثاني هو ما هي علاقة الخرائط أحادية البعد مع الأنظمة الفيزيائية الحقيقية.
سأحاول الاجابة عن السؤال الثاني في الوحدات القليلة التالية.
بالنسبة للسؤال الأول، كيف الشمولية ممكنة في الخرائط أحادية البعد، ذلك يمكن تفسيره بدقة من خلال نظرية رياضية،
أو مجموعة من التقنيات، تدعى إعادة التسوية renormalization أو مجموعة إعادة التسوية.
إعادة التسوية هي تقنية في الرياضيات والفيزياء، حيث يغير أحدٌ ما مقياس الطول ثمّ يراقب كيف تتغير الخصائص الأخرى للنظام.
إذاً لبعض أنواع الانتقالات يوجد بنية كسورية نوعاً ما، الخضائص مستقلة عن الطول.
كانت تلك الحالة بالنسبة لرسوم التشعب البياني.
نرى بنية كسورية في رسم التشعب البياني للمعادلة اللوجيستية ولمعادلاتٍ أخرى.
نرى هؤلاء المذار أو الأشجار تتكرر مرة بعد مرة حتى لو كبّرنا أعمق وأعمق.
إذاً هذه الحقيقة، أو الإدراك، أنّ بعض الخصائص مستقلة عن الطول، مع الآلية الرياضية للأطوال المتغيرة في آنٍ واحد،
تؤدي إلى بعض التقنيات التي يمكن أن تُستَخدم لاستنتاج أدلة حاسمة.
ذلك مصطلح من الفيزياء الإحصائية ودلتا هي مثال لدليل حاسم.
تفسر إعادة التطبيع أيضاً لماذا بعض تفاصيل النموذج لا تهم.
إذاً في الأنظمة الديناميكية، لنقل، يمكننا أن نملك شروط إبتدائية مختلفة تُسحب لنفس النقطة الثابتة الجاذبة.
عندما يطبّق أحدٌ ما إعادة تطبيع، أحدٌ ما لديه الكثير من الدوال المختلفة، التي تذهب جميعها لنفس الدالة الشاملة الجاذبة.
إذاً تفاصيل الشروط الإبتدائية هذه، أو تفاصيل هذه الدوال، لوجيستية، تكعيبية، وهكذا، لا تهم بالنسبة للسلوك الشامل.
إذاً يجب أن أقولها مرة أخرى: الشمولية هي نتيجة مذهلة.
إنّها حقيقة رياضية لا تصدق، أنّ هذه الدوال المختلفة لديها نفس رسوم التشعب البيانية أو رسوم تشعب بيانية مشابهة جداً ونفس النسبة هذه 4.669201،
لكن المذهل حقاً أنّ هذا العدد، 4.669، يمكن أن يوجد في التجارب الفيزيائية أيضاً.
الأنظمة الفيزيائية الحقيقية تلك، معقدة أكثر بكثير من الدوال أحادية البعد، تُظهر انتقالات تضاعف دورة إلى الشواش،
وإنّ ميزات معينة لهذه الإنتقالات شاملة نفسها عبر نطاق واسع جداً جداً من الأنظمة.
أعتقد أنّ هذه نتيجة لطيفة ومشّوقة جداً ومستلهمة من روح الفيزياء، التي تقول أنّه هناك بعض الآلية المشتركة أو البنية المشتركة
عبر نطاق من الظواهر قد يبدو في البداية مختلف جداً وبعيد وغير مرتبط.
عندئذٍ السؤال هو، هل ظاهرة الشمولية ...، أو ماذا ستقول ظاهرة الشمولية حول الأنظمة المعقدة.
إنّي أفكّر هنا بالأنظمة بالعديد من الأجزاء المتفاعلة، أنظمة حيوية، أنظمة اقتصادية، بيئات معقدة مع العديد من الأفراد المتفاعلين.
هل نتوقع أن نرى انتقالات شاملة في هؤلاء، بالطريقة التي نراها في الأنظمة الفيزيائية البسيطة نسبياً، والأنظمة الرياضية البسيطة جداً؟
حسناً أعتقد أنّ الإجابة هناك، لأكون صادقاً، لا أحد يعلم بالتأكيد.
رأيي، ولنكون واضحين فقط، هذا ليس ملك لأي أحد، حيث أنّ الشمولية بالمعنى الدقيق قد وصفناه هنا،
هناك وجود لهذه الأدلة الحاسمة، أشياء مل دلتا، من المرجح أنّها لا تظهر بدراسة الأنظمة المعقدة.
وبالتأكيد أعتقد أنّنا سنرى تشابهات بين أنظمة معقدة مختلفة كما مايبدو، ذلك نوعاً ما أحد المقدمات المنطقية الرئيسية لدراسة الأنظمة المعقدة.
أشك أنّ تلك التشابهات ستكون دقيقة، كمية، كما هي بالنسبة للشمولية في تضاعف الدورة و الظواهر المرتبطة،
بالطريقة التي ناقشنا بها في هذه الوحدة.
أخيراً، أريد أن أقول بضع كلمات عن الكسوريات والانتقال من السلوك الدوري للسلوك المشوش.
في رسوم التشعب البيانية التي نظرنا إليها في هذه الوحدة، نرى نوع معين من الانتقال من السلوك الدوري للسلوك المشوش غير الدوري،
انتقال اضطراب النظام. تضاعفات دورة - يتراكمون - ويصبح النظام مشوشاً.
هذا الانتقال مصحوب بسلوك كسوري ونرى ذلك في رسم التشعب البياني.
تشعبات تضاعفات الدورة هذه، هذه التفرعات، فروع الشجرة هذه في الرسم البياني،
نراهم مرة بعد مرة عند كل المقاييس، إذاً ذلك مثال ظاهرة كسورية.
والرقم 4.669 إنّه كبُعد كسوري نوعاً ما، يخبرنا بكم أكبر، أكبر تفرعات من التفرعات على المقياس المعطى.
في هذه الحالة، نرى انتقال اضطراب نظام وذلك مرتبط مع بعض أنواع السلوك الكسوري أوسلوك النطاق الحر.
في العالم الطبيعي والفيزيائي وحتى في العالم الإجتماعي، نرى الكثير والكثير من الأمثلة على سلوك النطاق الحر.
في تصنيفات الزلازل والسلاسل الجبلية، في كثافات المدن السكانية، يوجد كل أنواع الكسوريات، كلها في كل مكان في العالم الطبيعي والفيزيائي.
في الواقع الكثير من الأنظمة التي قد نفكر بها كونها أنظمة معقدة لديها صفة كسورية بها.
ومع ذلك، لا يعني ذلك بالضرورة أنّ هذه الأنظمة تتوازن عند حافة انتقال اضطراب نظام ما، على وشك الدخول في الشواش.
السبب الذي يدعني أقول ذلك هو أنّه يوجد الكثير والكثير من الطرق المختلفة لصنع هذه التصنيفات الكسورية، أو ما تدعى قوانين الطاقة.
عندما يراقب أحدٌ ما قوانين الطاقة في نظام، هناك الكثير من التفسيرات المحتملة.
العديد من الآليات تعطي ارتفاع لقوانين الطاقة والكسوريات في الأنظمة الطبيعية والفيزيائية والإجتماعية.
لا يجب أن تكون نتيجة لانتقال اضطراب نظام أو شيئاً ما على حافة الشواش.
ملاحظة تحذيرية لأنّني لست متأكداً بأنّ النقطة التي قد أوضحتها للتو حول وجود آليات مختلقة للكسوريات هي محل تقدير على نحوٍ واسع.
أعتقد أنّ الناس أحياناً، خصوصاً الفيزيائيين، يصبحون متحمسين جداً في ظاهرة الشمولية، وإنّها مذهلة،
كما سمعتني أقول، أنّه ربما نصبح متحمسين قليلاً ونوسعها إلى نطاق أبعد مما يجب.
هناك الكثير من الطرق لصنع انتقال اضطراب نظام كسوريات أو بشكلٍ عام انتقال مرحلي للنوع الشامل الذي كنت أتحدث عنه هو فقط طريقة واحدة محتملة.
يجلبنا هذا إلى نهاية الوحدة السادسة في الشمولية.
في الوحدة التالية، الوحدة السابعة، سنعود إلى المعادلات التفاضلية، وسننظر إلى معادلات تفاضلية ببُعدين وبثلاثة أبعاد
وسيقودنا هذا إلى مفهوم الفراغ المرحلي، أحد الأفكار التجريدية الهامة جداً من دراسة الأنظمة الديناميكية
إنّها وسيلة تحليلة وهندسية مفيدة جداً.
ومن ثمّ في الوحدة التي تليها، سننظر في كيف لجاذبات غير معروفة تُكشف في الفراغ المرحلي.
إذاً، أراكم الأسبوع القادم في الوحدة السابعة.