أهلاً ومرحباً بكم في الوحدة الرابعة لمنهاج .
هاتين أول وحدتين
في التشعبات.
تغيرات نوعية مفاجئة في سلوك
الأنظمة الديناميكية التي لديها معامل
فهي متغيرة باستمرار.
في هذه الوحدة سننظر
للتشعبات في المعادلات التفاضيلية.
الوحدة التالية ستكون حول التشعبات في التوابع التكرارية.
مثل المعادلة اللوجيستية التي درسناها في الوحدة الثالثة.
سأبدأ هذه الوحدة
من خلال مراجعة تقنيات الحل النوعية
للمعادلات التفاضلية.
ومن ثمّ سوف أقدّم نسخة المعادلة التفاضلية
من المعادلة اللوجيستية من الوحدة السابقة
وسوف أستخدم هذا المثال لأقدّم فكرة التشعبات.
إذاً، دعونا نبدأ.
إذاً ها هنا معادلة تفاضلية لوجيستية.
(dp/dt = rP(1-p/k
تبدو مشابهة للمعادلات اللوجيستية
من الوحدة السابقة.
بينما على أية حال هذه معادلة تفاضلية.
هذه dp/dt على اليسار.
إذاً إنّها تعني أنّها سوف تملك خصائص مختلفة بعض الشيء.
سأقارن وأغاير المعادلة التفاضلية
والتابع التكراري في الفيديو التالي.
للآن أريد أن أركّز على خصائص
هذه المعادلة.
إذاً هذه المعادلة لديها وسيطين.
R كما سابقاً تقيس معدل التطور
كلما كانت r أكبر، سوف تكون الكثافة السكانية أكبر.
P هنا مجدداً، أنا أتصورها
كأنها الكثافة السكانية لحيوانٍ ما أو شيءٍ ما.
و K هو الوسيط المعروف
بالسعة الحاملة.
للتابع التكراري،
التابع اللوجيستي التكراري
هذا كان a و لقد كان معروف
بوسيط الإبادة.
K و A يظهران بنفس المكان رياضياً.
لديهما معاني مختلفة أو يقومان بأشياء مختلفة.
للمعادلة التفاضلية هذه.
إذاً، هذه معادلة تفاضيلية التي قد درسناها
في الوحدة 2.
dp/dt مفدار التغيير لـ P.
إنّها دالة لـ P.
مدى سرعة تطور الكثافة السكانية
يعتمد على الكثافة السكانية الحالية وهذه
قيم وسيطين.
ها هنا رسم بياني للجهة اليمنى لهذه.
وللواقعية،
ماذا اخترت؟
أختار k لـ 100 لـ r لما أظن أن 3.
إذاً، دعوني أصنع ملاحظة لهذا.
هنا k هي 100 و r هي 3.
إذاً من رسم بياني كهذا
لقد رأينا في الوحدة الثانية
أننا يمكننا الحصول على الكثير من المعلومات النوعية.
عن سلوك الأنظمة الديناميكية هذه.
عنما تكون هذه الدالة موجبة.
ذلك يعني أنّ معدل االتطور موجب.
والكثافة السكانية تتزايد.
إذاً أي كثافة سكانية أكبر من الصفر قليلاً
أو أقل من 100.
سوف تزداد للصفر.
إن كانت الكثافة السكانية أكبر من 100.
معدل التطور سالب
إذاً الكثافة السكانية تتزايد.
إن كانت الكثافة السكانية أقل من صفر.
ذلك لا يبدو منطقياً حقاً
لكن رياضياً إن كانت الكثافة السكانية سالبة.
معدل التطور سيكون ساالباً.
إذاً سوف يدفع ذلك الرقم
لليسار.
إذاً يمكننا أن نرسم خط مرحلي
الذي كان هذا.
إذاً دعوني أقوم بذلك
ها هنا الخط المرحلي
و لدينا نقطتين ثابتتين.
أحد النقطتين الثابتتين عند الصفر
والنقطة الثابتة الأخرى عند الـ 100.
وهذه النقطة الثابتة مستقرة
إنّها جاذبة
أي شيء بين 0 و 100
يُسحب باتجاهها.
أي شيء أكبرر من 100 يُسحب باتجاهها أيضاً..
الكثافة السكانية أكبر من 100تتناقص
حتى تصل لـ 100
الكثافة السكانية بين 0 و 100 تتزايد
حتى تصل لـ 100 أيضاً.
ومن ثمّ 0 ستكون نقطة ثابتة غير مستقرة.
منفرة.
إن كنت بقرب 0 وتحركت قليلاً لكل جهة
سوف تُدفع بعيداً في هذه الحالة باتجاه
الجاذبة عند 100.
وفي هذه الحالة سوف تذهب باتجاه اللانهاية السالبة
إذاً هذا هو الخط المرحلي
لهذه المعادلة التفاضلية.
نستطيع أيضاً أن نرسم حلول
للمعادلات التفاضلية.
والحل في هذا السياق
هو الكثافة السكانية كدالة للزمن.
إذاً دعونا نرى.
نعرف أنّ 100 هي نقطة ثابتة.
أسف، دعوني أحرك هذا قليلاً
ها نحن ذا.
نعرف أنّ 100 هي نقطة ثابتة.
دعونا نرى. سوف أرسم بعض منحنيات الحلول
باللون الأزرق.
لقد بدأنا عند حوالي 20، سوف نتزايد
سوف نتزايد بسرعة حتى نصل لـ 100.
إذا بدأنا فوق الـ 100.
سوف نتناقص ونقترب من 100.
إذاً ها هنا ثلاثة حلول مختلفة.
P كدالة للزمن.
كما يُظهر هذا المنحني.
هذه P، هذه T.
وفي كل الحالات يقتربون من النقطة الثابتة هذه
عند 100.
أرسم ذلك ختى النهاية بخط متقطع
إذاً مجدداً بدون القيام بأي تفاضل وتكامل
أو إستخدام طريقة أويلر
يمكننا أن نحصل على شكل موثوق لهذه المنحنيات.
إذاً أخيراً، دعوني أقول قليلاً عن
هذه الكمية لـ K.
لماذا هي معروفة بالسعة الحاملة.
هذه المعادلة تقول
أنّه أي كثافة سكانية موجبة هي كثافة سكانية
حقيقية.
تبدأ معها ، سوف تذهب لـ 100.
إذاً 100 بمعنى أنّه الكثافة السكانية متوازنة.
إنّه عدد المخلوقات في هذا النظام
أياً كان نوعها
تستطيع أن تدعم.
حسناً، إذاً هذا إقتراب نوعي
لحلول المعادلة اللوجيستية
وبعد هذا، يوجد إختبار قصير
لتنعش ذاكرتك على كيفية عمل كل هذا
ثمّ، سأناقش التابع التكراري اللوجيستي
وسأقارن وأغاير
المعادلة التفاضلية والتابع التكراري.