Esto es un resumen del método de Euler
para resolver ecuaciones diferenciales de esta forma.
La derivada de una función desconocida X es simplemente una función de X,
y suponemos que conocecemos el valor de partida de esta función X,
- esto podría ser temperatura, podría ser posición, podría ser cualquier cosa.
Así que empezamos - necesitamos elegir un tamaño de paso,
- esto es una elección que tenemos que hacer, y empezaremos en el instante de tiempo igual a 0,
donde conocemos el valor de X.
Así, empleando el valor actual de X,
la ecuación - la ecuación diferencial - esta función,
nos dice la tasa de cambio.
Así que conocemos lo rápidamente que X está cambiando.
Entonces empleamos esta tasa de cambio
para determinar el próximo valor de X,
Este es el valor actual de X,
esto es lo que cambia X, en el intervalo temporal delta t.
Esto es un poco irreal
- suponemos que la tasa de cambio es constante
para este intervalo de tiempo delta t, y podemos emplear esto
para encontrar el próximo valor de X,
entonces, incrementamos t con delta t
y volvemos a este paso, y volvemos a evaluar la derivada otra vez.
La derivada nos dice como ir hacia delante un paso más en el tiempo
para encontrar el próximo valor de X, entonces actualizamos el tiempo, calculamos la derivada otra vez,
y vamos hacia adelante para encontrar X.
Así que 2 y 3 - estos son los pasos clave aquí,
- estamos constantemente repitiendo estos pasos,
la función - la ecuación diferencial - nos dice la derivada,
- aquí usamos la derivada para calcular el valor de X,
y luego volvemos, X nos da la derivada de la ecuación diferencial,
- empleamos la derivada para calcular X, y así sucesivamente.
Así que uno repite este proceso
hasta que tienes la solución deseada.
Así, en la práctica, uno elegiría un delta t cada vez más pequeño
hasta que la curva de la solución deja de cambiar.
Así, si eliges un delta t de 2, y luego de 1, y de 0.01, y 0.001,
haciendo esto en un computador, o una hoja de cálculo,
y finalmente uno vería que tu tabla de valores, si las graficaras,
tus X pararían de cambiar, y eso sería una señal
de que tu delta t es lo suficientemente pequeña.
Así que esto es, en pocas palabras, el método de Euler.
Se centra en el significado básico de la ecuación diferencial,
- la tasa de cambio está dada por la cantidad X,
empleamos esta tasa de cambio para calcular X,
otra vez, pensamos en esto como un sistema dinámico,
- es una regla que especifíca como X cambia,
la regla está escrita en terminos de la derivada,
la tasa de cambio de X, en vez de X directamente,
pero sin problemas, el método de Euler o otros métodos similares
nos permiten convertir las tasa de cambio en la función misma.