Αυτή είναι μια σύνοψη της Μεθόδου του Euler
για τη λύση διαφορικών εξισώσεων αυτού του τύπου.
Η παράγωγος κάποιας άγνωστης συνάρτησης Χ είναι απλά συνάρτηση του Χ
και, υποθέτουμε οτι γνωρίζουμε την αρχική τιμή [Χ(0)] αυτής της συνάρτησης Χ,
- αυτό μπορεί να είναι θερμοκρασία, μπορεί να είναι θέση, μπορεί να είναι οτιδήποτε.
Οπότε, ξεκινάμε: πρέπει να διαλέξουμε το μέγεθος του βήματος
- αυτή είναι μια απόφαση που πρέπει να πάρουμε -
και θα ξεκινήσουμε στον χρόνο t ίσον 0 όπου γνωρίζουμε την τιμή του Χ.
Οπότε, χρησιμοποιώντας την παρούσα τιμή του Χ,
η εξίσωση, η διαφορική εξίσωση, αυτή η συνάρτηση
μας δίνει τον ρυθμό μεταβολής.
Έτσι ξέρουμε πόσο γρήγορα αλλάζει το Χ.
Μετά, χρησιμοποιούμε αυτόν τον ρυθμό μεταβολής
για να προσδιορίσουμε την επόμενη τιμή του Χ:
αυτή είναι η παρούσα τιμή του Χ,
αυτό είναι το πόσο πολύ αλλάζει το Χ στο χρονικό διάστημα Δt,
αυτό είναι λίγη προσποίηση
- προσποιούμαστε οτι ο ρυθμός μεταβολής είναι σταθερός
για αυτό το χρονικό διάστημα Δt -
και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό
για να βρούμε την επόμενη τιμή του Χ.
Έπειτα, αυξάνουμε το t κατα Δt,
επιστρέφουμε σε αυτό το βήμα και υπολογίζουμε την παράγωγο ξανά.
Η παράγωγος μας λέει πώς να προχωρήσουμε λίγο στον χρόνο
για να υπολογίσουμε το επόμενο Χ.
Μετά ενημερώνουμε τον χρόνο, ξαναβρίσκουμε την παράγωγο
προχωράμε στο να βρούμε το Χ.
Άρα 2 και 3 - αυτά είναι τα κύρια βήματα εδώ -
πάμε διαρκώς μπρος και πίσω.
Η συνάρτηση - η διαφορική εξίσωση - μας δίνει την παράγωγο.
Εδώ, χρησιμοποιούμε την παράγωγο για να βρούμε την τιμή του Χ
και μετά πάμε πίσω: το Χ μας δίνει την παράγωγο από τη διαφορική εξίσωση,
χρησιμοποιούμε την παράγωγο για να βρούμε το Χ και ούτω καθ'εξής.
Οπότε, κανείς επαναλαμβάνει αυτές τις διαδικασίες
μέχρι να έχετε αρκετή από τη λύση.
Έτσι, στην πράξη, κανείς θα επέλεγε μικρότερα και μικρότερα Δt
έως ότου οι καμπύλες λύσης σταματούσαν να αλλάζουν.
Αν διαλέγατε ένα Δt του 2, και μετά 1, και μετά 0.01 και μετά 0.001,
κάνοντας το αυτό σε υπολογιστή ή σε υπολογιστικό φύλλο,
στο τέλος θα βλέπατε οτι ο πίνακας τιμών σας, αν κάνατε το διάγραμμα,
τα Χ σας θα σταματούσαν να αλλάζουν και αυτό θα ήταν μια ένδειξη
οτι τα Δt σας ήταν αρκετά μικρά.
Οπότε, αυτή είναι εν ολίγοις η Μέθοδος του Euler.
Φτάνει στον πυρήνα του τι σημαίνει η διαφορική εξίσωση:
ο ρυθμός μεταβολής δίνεται από την ποσότητα Χ,
χρησιμοποιούμε τον ρυθμό μεταβολής για να βρούμε το Χ,
οπότε, και πάλι, το σκεφτόμαστε ως ένα δυναμικό σύστημα
- είναι ένας κανόνας που προσδιορίζει το πώς αλλάζει το Χ.
Ο κανόνας είναι γραμμένος ως η παράγωγος,
ο ρυθμός αλλαγής του Χ αντί για το Χ απευθείας
αλλά, δεν υπάρχει πρόβλημα, η Μέθοδος του Euler, ή παρόμοιες,
μας επιτρέπει να μετατρέψουμε από ρυθμό μεταβολής στην καθαυτό συνάρτηση.