Нека продължим с този пример.
Разбрахме, че T(2) е 11, или приблизително 11
защото трябваше да си измислим някои неща,
но да видим дали ще намерим T(4)
Мога да се досетя колко бързо се променя температурата
във време 2, предполагайки че температурата е 11
Каква е скоростта на промяна? Нека попитаме уравнението
това прави диференциалното уравнение - правило, което ми казва колко бързо
се променя температурата, ако знаем температурата
Нека го направим
Използваме уравнението: задаваме въпроса
Когато температурата е 11, каква е скоростта на промяна? Каква е производната?
когато времето е 2, слагаме 11, значи T е 11, 20-11 е 9
умножено по 0.2 е 1.8
Вече знаем, че когато температурата е 11
се затопля с 1.8 градуса в минута
Ако искаме да узнаем T(4), след 4 минути
имаме същия проблем
това не е постоянна скорост - променя се през цялото време
щом се промени температурата, получаваме нова скорост
но нека както преди игнорираме проблема
и да предположим, че е постоянна
Отново проблемът е: скоростта не е постоянна
решението е да игнорираме проблема
не е винаги добра идея
но за метода на Ойлер, работи ОК
ще игнорираме проблема - представяме си че е постоянна
и можем да намерим температурата във време 4, след 4 минути
в тези 2 минути, които си представяме,
колко увеличение в температурата имаме
при 1.8 градуса в минута за 2 минути, това е 3.6
3.6+11, където започнахме, ни дава 14.6
Така вече знам температурата при Т=4 минути
Можем да продължим да го правим
продължаваме с този процес и получаваме
серия от температури за серия от времена
Продължаваме процеса
и можем да сложим резултата в таблица
Първите 3 стойности вече ги намерихме
началната температура е 5, във време 2 е 11
при 4 беше 14.6 а при 6
ако следваме процеса, ще получим 16.76
и можем да продължим
Нека направим графика - използвайки тези стойности
и да видим как изглежда, и да сравним с точното решение
За това уравнение може да се използва диференциално смятане
за точното решение на това диференциално уравнение
и това е тази непрекъсната линия тук
Към края на този под-модул, ще говоря за
това как се получава тази линия
Решението на Ойлер - това правим тук
това са тези квадрати - започваме в
начално положение, после сме тук на 11
малко под 15, почти 17, и т.н.
Виждаме решението на Ойлер -
свързаните квадрати с прекъсната линия
не е толкова близо до точното решение
не е зле, но не съвпада перфектно
не можем и да очакваме перфектно съвпадение
защото трябваше да предположим някои неща за да стигнем до тук.
Както е в случая, игнорирайки проблема,
проблемът беше този:
производната - скоростта на промяна не беше постоянна
Игнорирайки проблема всъщност не беше много добро решение
заради тези грешки тук
Например, ако избера стъпка 2, делта t = 2
Казвам: нека намерим температурата, главно T, на всеки 2 минути
но този размер на стъпката ни създаде проблеми
защото трябваше да предположим, че постоянно променяща се скорост
е всъщност константа за това време от 2 минути
и това яно не е вярно
по-добре ще се справим с метода на Ойлер, ако използваме по-малка делта t.