Ha habido un poco de confusión acerca de los distintos tipos de gráficas
que surgen cuando se resuelven estas ecuaciones diferenciales, así que pensé que sería
bueno ver la solución al "quiz" 1 con un poco más de detalle para resaltarlo.
Estamos resolviendo ecuaciones diferenciales de este tipo: dX/dt = f(X),
les he dado la gráfica de f(X), y así podemos obtener la linea de fase de esto,
también podemos bosquejar las soluciones de X como función de t,
y para hacer la discusión un poco más concreta,
pienso que ayudará reinterpretar esto como un problema de crecimiento poblacional, así que déjenme hacer eso...
Todo lo que hago es reemplazar la variable X por P,
y pensaremos en P como el tamaño de la población,
y dado que estamos midiendo población en estas unidades chistosas,
tal vez es una población en toneladas de biomasa o algo así,
no es que haya 1 (estamos hablando de conejos), no pienso que hay 1, 2 ó 3 conejos,
así que no nos preocuparemos mucho sobre las unidades aquí,
sino que la idea es que tenemos una población que está cambiando en el tiempo
y esto nos dice que la tasa de crecimiento, si está creciendo o decreciendo, y qué tan rápido,
es una función de la población actual.
Entonces en esta gráfica, este eje aquí, es la población P
y entonces, este es la tasa de crecimiento, cómo está cambiando la población.
Así que podemos ver, si la población está entre 1 y 9, entonces la población incrementará
porque la tasa de crecimiento es positiva, la población está aumentando.
Si la población es mayor que 9, entonces la población decrecerá
porque la tasa de crecimiento es negativa,
si la población es menor a 1, la tasa de crecimiento decrecerá,
de nuevo, porque la población es negativa.
De esta información, puedo bosquejar las curvas solución
para esta ecuación diferencial, déjenme hacerlo...
Aquí están mis ejes, ahora el eje horizontal es el tiempo,
y la población en el eje vertical.
Bosquejé los puntos fijos, los dos puntos estables, 1 y 9, como dos lineas punteadas.
Estos son puntos fijos porque la tasa de crecimiento es 0, y cuando la tasa de crecimiento es 0,
la población P no cambia.
Si empiezo, digamos, en 2, voy a incrementar, hasta que alcanzo 9, puedo bosquejar eso aquí...
Estoy incrementando, y me estoy acercando a 9.
Si empiezo en 5, también estaría incrementando, y acercándome a 9, se verá como esto.
Si empiezo en 12, voy a decrecer y voy a acercarme a 9
y si empiezo un poco por debajo de 1, estaría decreciendo e iría a 0.
Estas curvas moradas son soluciones de esta ecuación diferencial,
para cuatro condiciones iniciales distintas, así que estas curvas moradas son P como función de t.
Déjenme decir un poco, de nuevo acerca de estos dos tipos de gráficas,
porque es muy fácil llegar a confundirse.
Esta es dP/dt, como función de P, ¿la población está creciendo o decreciendo dada una población?,
realmente, no hay tiempo en los ejes.
Esta gráfica es P como función del tiempo, cómo cambia la población cuando avanza el tiempo.
Podemos ver que estas soluciones se acercan a este punto fijo estable en 9,
y son repelidas de un punto fijo inestable en 1.
Por último, otro tipo de gráfica que podemos dibujar es la linea de fase de esto, y si lo hacemos...
De nuevo, podemos ver que hay un punto fijo estable en 9, y un punto fijo inestable en 1,
y de hecho, podrías dibujar la linea de fase aquí en este eje, si lo quisieras,
Voy a hacerlo con un color diferente, para que se note, tomo un marcador rojo,
en esta región, entre 1 y 9, la población está creciendo, se mueve a la derecha,
¿Por qué?, porque esta gráfica es positiva, y cuando es positiva,
significa que la tasa de crecimiento es positiva.
Así que las flechas aquí tienen que ir así...
Si estoy por aquí, la población se hará más pequeña, porque la tasa de crecimiento es negativa,
el valor de esta función, dP/dt, es negativo, y lo mismo aquí,
y tenemos puntos fijos en la intersección, en donde la tasa de crecimiento es 0, la población está fija.
Es muy fácil confundirse con estos dos tipos de gráficas, pienso que algunos estuvieron
preguntando acerca de esto en el foro,
así que pensé sería bueno subrayar esto una vez más.