في هذه الوحدة الفرعية سأقدّم فكرة عن المشتق،
والذي هو الفكرة الرئيسية لحسابات التفاضل.
إذا كنت استخدمت حسابات التفاضل والتكامل مؤخراً
أو تشعر براحة جيدة بالتعامل معها
من المحتمل أنك تستطيع أن تتخطى هذا الفيديو
بما أنّها مادة قياسية نوعاً ما.
إذاً، سنبدأ بالتفكير بمعدلات التغيير.
إذاً، كمثال،
أفترض أنّك أخذت جولة على الدراجة لـ 30 دقيقة
وعند نهاية الـ 30 دقيقة هذه اجتزت 21 كيلومتر.
وربما تريد معرفة: مدى السرعة التي كنت أذهب بها في المتوسط؟
ماذا كان سرعتي المتوسطة خلال ركوب الدراجة هذا؟
حسناً نستطيع أن نحسب هذا كالتالي:
إذاً، السرعة المتوسطة - مدى سرعتك خلال ركوبك الدراجة 30 دقيقة
حسناً، هذا التغيير في الموضع،
كم اجتزت، خلال التغيير في الزمن،
وهذا يعني كم من الوقت انقضى،
كم من الوقت كنت تركب الدراجة.
بالرموز، يُكتب هذا غالباً دلتا s تقسيم دلتا t،
'دلتا'، هذا الشيء المثلثي، يعني 'التغيير'.
s هنا ترمز إلى: التغيير في الموضع - لأي مدى وصلت،
وإذاً لقد ذهبت 21 كيلومتر في 30 دقيقة،
وإذاً هذا سيكون 0.7،
والوحدات هي كيلومتر بالدقيقة.
الآن، هذا لا يعني أنّ عند
كل لحظة كنت تذهب بسرعة 0.7 كيلومتر بالدقيقة
على الأرجح، أحياناً، كنت تذهب أسرع وأحياناً أبطئ،
أسرع عند نزول هضبة، أبطئ عند صعودها، أسرع عندما تشعر بحيوية أكثر،
أبطئ عندما تتعب،
إذاً، هذا معدل. لم تكن تذهب بهذه السرعة كل الوقت،
لكن في المتوسط، هذه كانت سرعتك،
لكن بعد ذلك ربما تسأل سؤال آخر: كم كانت سرعتك، مثلاً
بعد 10 دقائق، 10 دقائق تماماً من انطلاقتك؟
إذاً، هذا نوع مختلف من الأسئلة.
إنّه سؤال سرعتك - كم كانت سرعتك
عند لحظة معينة، ليس خلال 30 دقيقة.
إذاً،هذا سؤال أصعب وأكثر دقة.
إذاً، ربما تفكر باحدى الطرق للإجابة على هذا:
انظر إلى معدل سرعتك لفترات زمنية متقاربة
لنقطة 10 دقائق هذه.
إذاً، دعوني أكتب كيف من المحتمل أن تفكر بهذا.
إذاً، ربما تقول: السرعة المتوسطة
من t يساوي 9 إلى t يساوي 11 دقيقة،
إذاً، نفس الفكرة - إنّه سرعة متوسطة، لكن الآن الفترات الزمنية أصغر،
ولاحظ أنّ 10 دقائق تماماً بين 9 و 11،
وثم هذه ستكون المسافة المجتازة في هذا الوقت،
في هذه الحالة، ليس طوال رحلتك كاملة،
لكن فقط الرحلة من t تساوي 9 إلى 11،
وسوف تقسم هذا وفقاً للزمن الذي انقضى
وهذا سيكون فقط دقيقتين.
إذاً، هذا يمكن أن يكون.
وفقط لتختلق رقم في سبيل الواقعية.
ربما في هاتين الدقيقتين، من t تساوي 9 إلى t تساوي 11 في رحلتك
دعونا نقول أنك ذهبت 1.2 كيلومتر،
مقسمة بدقيقتين،
ودعونا نقول هذا سيكون 0.6 كيلومتر بالدقيقة،
إذاً، معدل سرعتك من
t تساوي 9 إلى t تساوي 11، في هذه الحالة، وأنا فقط أختلق هذه الأرقام لكي يكون لدينا
شيئاً ما لنتحدث عنه،
إنّه أقل بقليل من سرعتك المتوسطة.
إنّك تذهب أبطئ قليلاً من المعدل هنا.