Искам да кажа още нещо за различните типове фиксирани точки
За функцията за повдигане на втора степен, видяхме два вида: стабилни и нестабилни.
Ето илюстрация на стабилна фиксирана точка...
... и ето илюстрация на нестабилна фиксирана точка.
Фиксираната точка е черна точка, не се променя, когато функцията й действа.
Това ни показва, че съседните точки се доближават до фиксираната, т.е. тя е стабилна.
Тук близките точки, когато функцията им действа, се отдалечават.
Първо, има други думи за този тип фиксирани точки.
Стабилна фиксирана точка се нарича "атрактор"
Нарича се така, защото привлича точки, съседните точки се дърпат към него. Това е атрактивна фиксирана точка.
Нестабилната точка се нарича "репелър", защото отблъсква съседните точки, избутва ги надалеч.
Можем да кажем, че такива точки са отблъскващи.
Можем да ги илюстрираме, донякъде метафорично, и по друг начин.
За стабилната точка, можем да си представим топче на дъното на купа.
Ако бутна това топче отстрани малко и го пусна, ще се движи напред-назад по дъното и ще се върне на началната точка.
Камък в долина, топче на дъното на купа, това е стабилна ситуация. Малка промяна, малко бутване няма да я промени в дългосрочен план.
Нестабилна фиксирана точка може да илюстрираме с обратната картина.
Представете си топка, внимателно балансирано върху хълм.
Може да бъде балансирано, фиксирано да не мърда, но съвсем малко бутане в произволна посока ще го прати надолу и няма да се върне
Тук се показва същото нещо, тази точка е фиксирана, но ако я мръднем малко надясно или наляво, ще се отблъснем безвъзвратно
Тази графика е за стабилна фиксирана точка а тази за нестабилна фиксирана точка
Разграничението между стабилна и нестабилна фиксирана точка е важно.
При реалните системи, не може да очаквате наличието на нестабилна фиксирана точка, защото те не се задържат дълго.
Малка неравност наляво или дясно и обектът се отдалечава безвъзвратно.
При реалните системи и повечето числови експерименти наблюдаваме стабилното поведение.
Когато се опитваме да категоризираме и разбираме дългосрочното поведение на динамични системи,
ще обърнем специално внимание на стабилно поведение, тъй като то е най-вероятно да се наблюдава.