Yineli fonksiyonları incelemenin çoğu zaman en kolay yolu güzergâhı veya yörüngeyi çizmektir.
Bunu bir örnekle göstereyim.
Yine üçe katlama fonksiyonu f(x) = 3x'i alalım.
Tohum x'in 2 olduğu yörüngeyi bulalım. Daha önce yapmıştık.
2'yi kullanarak sıradaki değer 6'yı buluyoruz. 6'yı 3'le çarpıp 18, 18'i 3'le çarpıp 54'ü ve 54'ü 3'le çarpıp...
Bakalım... 162'yi buluyoruz.
Yörüngemiz bu. Güzergâhımız bu. Bunu zaman serisi grafiği şeklinde çizeceğim.
Yani yineleme sayısını yatay eksende yineleme değerini dikey eksende göstereceğim.
Önce eksenleri çizeyim.
Bu eksende zaman veya yineleme sayısı olacak. Bu eksende de yineleme değeri, x(t) olacak.
Hadi bu noktaları gösterelim.
Başlangıç koşulum, tohumum 2. Başlangıçta t değerim 0. Orijine yakın bir yeri, 2 civarını işaretliyorum.
İlk yineleme değeri 6. Biraz yukarı çıkıp 6 civarını işaretliyorum.
Sonraki değer, zaman 2 olduğundaki değer 18. Buralarda bir yer olabilir.
Zaman 3, yineleme sayısı 3. Ta buraya, 54'e çıkıyorum. Burası olabilir.
Bu yörüngedeki sonuncu, zaman 4 olduğunda, dördüncü yinelemede 162'ye kadar çıkıyorum.
Bu benim zaman serisi grafiğim olacak. Noktaları birleştirirsem eğilim daha belirgin olur.
Ancak aralardaki değerler anlamsız. Yörünge, 2'den 6'ya atlıyor. 2'den 6'ya, aradaki değerleri de alarak gitmiyor.
Bu grafiğin daha düzgün hâlini görelim.
İşte. Bunu bilgisayara çizdirdim. Yörüngenin 2'den 6'ya, 18'e, 54'e, 162'ye gittiği görülüyor.
Yineleme sayısını zaman olarak alıp yineleme değerini y ekseninde gösteriyorum.
Bunun amacı... Buna zaman serisi grafiği denir. Çünkü değerleri, zamanla ilerleyen bir sayı dizisi olarak görebiliyoruz.
Grafik bize bu sayının hızla büyüdüğünü gösteriyor. Sayılara bakarak da anlayabilirdik ama geometrik görünüm daha çarpıcı.
Zaman serisi grafiği, fonksiyonun kendi grafiğinden oldukça farklı.
Zaman serisi grafiği, yörüngeyi gösterir. Bize zaman 1'deki, ilk yinelemedeki, zaman 2'deki, 3'teki yörünge değerini söyler.
Fonksiyonun grafiğiyse, ki işte f(x) = 3x'in grafiği, bize x girdisinin f(x)'le ilişkisini gösterir.
Bir zaman serisi grafiği örneği daha yapalım. Bu kez kare alma fonksiyonu f(x) = x^2'yi kullanacağız.
Tohumum, başlangıç koşulum 1,1 olsun. Başlangıçta t 0'a eşit, değer ise 1,1.
Sonraki değer nedir? Fonksiyon belirleyecek. 1,1'in karesini alalım. Hesap makinesinde yapıyorum. Yanıt 1,21 oldu.
Tamam, sonraki değer ne? Fonksiyondan, bir sonraki değeri alıyoruz. Yani 1,21'in karesi. 1,46.
Sonraki değer nedir? Fonksiyon belirleyecek. 1,46'yı girdi olarak verip karesini alarak 2,14'ü buluyorum.
Bir tane daha. Sonraki değer ne? Önceki değerin karesini almıştım. Yani tekrar tekrar kare alıyorum.
4,59 buldum. Yineleme tekrardan ibaret ama olay zaten bu. Bir sayıdan başlayarak aynı şeyi defalarca yapıp inceliyoruz.
Bir zaman serimiz oldu. 1,1, 1,21, 1,46, 2,14, 4,56. Bu bir yörünge veya güzergâh.
Zaman serisi grafiğini çizelim. Çizdiğimizde böyle görünecek. Elle çizdiğimden çok daha iyisini bilgisayara çizdirdim.
Zaman, aşağıda, yatay eksende. Zaman 0'ken zaman serisi değeri 1'den biraz büyük. 1,1'le başladık.
Zaman 1'de, ilk yinelemede, azıcık büyüyor, 1,21 oluyor.
Zaman 2'de bir buçuk civarı, 1,46.
Zaman 3'te 2'den biraz büyük. Zaman 4'te de dört buçuk civarı.
Yani zaman serisi grafiğinin arkasında fikir gayet net. Yörüngeyi hesapla ve art arda gelen sayıları soldan sağa işaretle.
Yörünge büyüyor mu yoksa küçülüyor mu yoksa başka bir şey mi yapıyor, rahatça görülebiliyor.