Me gustaría hablar brevemente acerca de cómo visualizar el escalamiento
de ley de potencia en un gráfico.
Eso se hace notando que hay dos expresiones matemáticas equivalentes
que representan la ley de potencia.
En esta, la primera que vimos, y es igual a una constante c por x elevado
a una potencia alfa. Ya vimos eso.
Si tomamos los logaritmos de los dos lados de esta ecuación,
obtenemos el log de y es igual a alfa por el log de x más el log de c.
Esas son dos expresiones equivalentes. A esta derivé aplicando las reglas de
logaritmos que aprendimos en unidades anteriores.
Si no siguieron como llegué a esto, solo creanme que es verdad o vuelvan atrás
y revisen esas reglas o pregunten en el foro si gustan.
Bueno esto es útil por la siguiente razón. Si trazamos y igual c por x elevado alfa,
obtenemos algo como esto, por ejemplo, si alfa es negativo.
Pueden notar que si miramos a esta ecuación con los logaritmos,
es la ecuación de una línea recta... pendiente por x más una constante.
Si la trazamos en un gráfico log-log, en el cual el eje y es el logaritmo de "y",
y el eje x es logaritmo de "x".
Estoy tratando esto como el eje y, y esto como el eje x, y trazando esto
como línea recta.
Entonces, la cosa a recordar es que en un gráfico regular la ley de potencia
luce como esto. Mientras en un gráfico log-log luce como línea recta, en el que
la pendiente es el exponente alfa.
Miremos un par de ejemplo famosos de leyes de potencia.
La magnitud de sismos de Gutenberg-Richter.
Probablemente han oido de la magnitud 1, 2, 3, etcétera, de sismos.
Bueno, la magnitud es sólo el logaritmo de la energía del sismo.
Lo que esto significa es que esto es realmente una escala de logaritmo,
en la cual trazamos el logaritmo de la energía.
Así que un sismo de magnitud 2 tiene 10 veces más energía que uno
de magnitud 1. Un sismo de magnitud 3 tiene 100 veces más energía, y así.
Entonces esta es una escala de logaritmo, y en este eje está el número de sismos
por año de una determinada magnitud. Esto también es una escala logaritmica.
Y esto es una ley de potencia, una línea recta en un gráfico log-log.
Los puntos son los datos reales y la línea es el mejor ajuste, y se ajusta muy bien.
Lo que muestra es que hay muchas, entre cien y mil terremotos de magnitud 1 por año
pero muy pocos de magnitud cinco o seis, los cuales ocurren cada ciertos años,
y los otros sismos de magnitudes mayores son incluos más raros.
Esa es una ley de potencia muy famosa.
Otra ley de potencia famosa de la que hablaremos en la unidad es
la ley de escalamiento metabólico en animales.
Si trazan la masa corporal de un animal en este eje, versus el ratio metabólico
(el monto de metabolismo medido en Watts, de animales de distinta masa),
y pueden ver que diferentes animales caen en esta línea recta.
Esto tiene unas propiedades muy interesantes, de las que hablaremos con
mayor detalle en breve. Finalmente oirán brevemente acerca de un nuevo trabajo
de escalamiento en ciudades. Este gráfico es de un artículo de Bettencourt y West
que se publicó en 2010 y del cual hay un link en nuestra página del curso,
y muestra cómo las propiedades de las ciudades como el crimen,
el producto interno bruto, los ingresos y las patentes, escalan con la
población de la ciudad. Esto es la población de una ciudad dividido por el promedio
de población total de la ciudad. Esto es el logaritmo de eso, y pueden ver
que escalan de una manera muy similar, al estilo de una ley de potencia.
Esto es algo un poco sorprendente y la explicación para ello todavía
no está bien entendida, así que oirán más de eso luego.