Buongiorno, in questa sezione ci occuperemo
di scaling. Lo scaling è
lo studio di come differenti aspetti di un sistema
cambiano quando la dimensione del sistema
aumenta. Si è osservato che i sistemi complessi
spesso aumentano di dimensione in modi che sono
sorprendenti e molte volte anche
non ben compresi. Qui vedremo alcune
affascinanti e, in qualche modo, controverse
evidenze dello scaling in biologia e poi
daremo uno sguardo anche ad alcuni nuovi studi
sullo scaling nelle città. Cominciamo.
Il campo dello scaling si chiede: come cambiano gli attributi
di un sistema quando la sua dimensione aumenta?
Per esempio in biologia ci possiamo
chiedere come gli attributi degli organismi
cambiano quando la massa dei loro corpi aumenta.
Oppure nello scaling urbano, un'area oggigiorno molto popolare,
come cambiano gli attributi delle città quando la popolazione aumenta?
Lo studio dello scaling è stato molto importante
nella comunità di ricerca sui sistemi complessi
perchè molti indizi su come
funzionano i sistemi complessi possono essere raccolti
studiando come questi sistemi scalano.
C'è un semplice concetto matematico
che è molto importante per capire
lo scaling ed è il concetto di proporzionalità
Ecco una proporzionalità semplice.
La quantità y è detta essere proporzionale a x
se y corrisponde a una costante c moltiplicata per x.
Ad esempio ecco una relazione di proporzionalità.
y è uguale a 2 x.
Ogni volta che x aumenta, y aumenta del doppio del valore.
Ecco un altro esempio,
y è uguale a -1/3 di x.
Questo significa che se x passa da 1 a 2,
y diminuirà da -1/3 a -2/3.
La proporzionalità è una relazione lineare.
Puoi verificarlo perchè le formule
sono rappresentate da linee rette.
Guardiamo al concetto di scaling in un contesto molto semplice
quello dello scaling geometrico.
Supponiamo che vuoi spostarti dalla
tua attuale piccola camera da letto a una più grande.
Questa è la tua camera attuale.
Ha una certa lunghezza mentre
quella nuova è lunga il doppio.
Ora ti chiedi: quanto grande può essere il letto
per stare nella nuova stanza?
La lunghezza del letto è linearmente in scala con la lunghezza
della stanza. Ovvero, data la
lunghezza del letto nella tua vecchia stanza,
ora puoi farne stare uno lungo due volte tanto
nella tua nuova stanza. Vediamo cosí che
la lunghezza del letto è proporzionale alla lunghezza della stanza.
Puoi rappresentarlo cosí.
Al crescere della lunghezza della stanza, la dimensione del letto
aumenta linearmente. Facciamo ora
un esempio molto semplice. Supponiamo che tu
abbia un tappeto nella stanza originale. Ora
puoi prenderne uno più grande per la tua nuova stanza.
Quanto più grande? Bene, l'area del
tappeto che puoi inserire nella tua nuova stanza
è in un rapporto quadratico con
la lunghezza della stanza. Quadratico nel senso di
il quadrato di. Siccome l'area è in rapporto
al quadrato della lunghezza, l'area del
tappeto che puoi inserire aumenta al crescere
della lunghezza. Se raddoppi la dimensione della stanza,
questo significa che quadrupli i piedi quadri
Ecco come appare il grafico
o i metri quadri del tappeto
che puoi inserire nella stanza perchè 2^2 = 4.
in un rapporto quadratico. Si può vedere che quando
la lunghezza della stanza aumenta, l'area del tappeto
aumenta molto più in fretta che in un rapporto lineare.
Da ultimo se la stanza
appartiene a una teenager,
se avete una teenagere o siete una teenager
a cui piace accumulare vestiti da lavare
fino al soffitto. Io stessa ero una teenager
di quel tipo. E ora sono la madre
di una. Se vai in una stanza più grande,
puoi impilare più biancheria fino al soffitto.
In che rapporto è con
la lunghezza della stanza?
Il volume della biancheria che puoi impilare fino al soffitto
è in un rapporto cubico con lal lunghezza della stanza.
Il volume della biancheria
è proporzionale alla lunghezza della stanza al cubo.
Questo accade perchè il volume è in rapporto al cubo
della lunghezza. Lo si può osservare guardando
questo grafico. Il volume della biancheria aumenta
molto rapidamente all'aumentare della lunghezza della stanza.
Se raddoppi la dimensione della stanza,
potrai ospitare 8 volte la quantità di biancheria,
perchè 8 è 2 al cubo.
In generale molti attributi hanno quello che chiamiamo
power-law scaling. Abbiamo imparato
cosa sono le leggi di potenza nella sezione sui network
di questo corso. L'idea è che alcuni attributi,
come il volume, o l'area,
sono proporzionali alla dimensione, in queso caso
la lunghezza della stanza, alla potenza di una qualche costante
alfa. Attenzione. Questo è il simbolo
di proporzionalità, e questo è la
lettera greca alfa, l'esponente. Alfa è
una costante, e bisogna ricordare che questi sono due
simboli differenti. Ciò significa che il nostro
attributo, il volume della biancheria, è
uguale a una qualche costante, c, per la dimensione
elevata a una qualche potenza alfa, dove sia c
che alfa sono costanti. Possiamo scriverlo
in termini di y e x come y = c x ^ alfa.
Questa è quella che chiamiamo una legge di potenza.