שלום חברים. ביחידה זו נסתכל על
קני מידה. קנה מידה או מדרוג זהו תחום
שבו נחקרים שנויים המתרחשים במערכת
ככל שהמערכת גדלה.
מסתבר שמערכות מורכבות
נוטות לשנות קנה מידה באופן
מפתיע ובהרבה מקרים, הדבר
לא מובן. נתבונן בכמה תוצאות
מרתקות ושנויות במחלוקת של
מדרוג בביולוגיה ולאחר מכן
נעיף מבט על עבודות חדשות
שנעשו בערים. בואו נתחיל.
תחום המדרוג שואל כיצד תכונה
של מערכת משתנה בהתאמה לגודלה?
למשל, בביולגיה נשאל
כיצד תכונה של אורגניזם משתנה ביחס
לגודל הגוף
או במדרוג עירוני , תחום פופולארי
בימינו, נשאל כיצד תכונה של עיר
משתנה ככל שהאוכלוסיה גדלה?
תחום המדרוג חשוב מאוד
במחקר אודות קהילות
במערכות מורכבות משום שרמזים רבים
לאופן שבו מערכת מורכבת עובדת
עשויים להמצא באופן המדרוג של מערכת.
יש מושג מתמטי פשוט
מהותי מאוד להבנת מדרוג
וזה הרעיון של יחסיות (פרופורציונאליות).
הנה יחסיות פשוטה. הנה
כמות Y יחסית (מתכונתית) ל X
אם Y שווה לקבוע כלשהו C
מספר כלשהו, כפול X.
למשל, הנה יחסים פרופורציונאליים.
Yשווה ל 2X.
בכל פעם ש X גדל, Yגדל פי 2
הנה דוגמה נוספת,
y שווה ל [ 1/3-] x. כלומר, כאשר
x גדל מ1 ל 2
y יקטן מ [-1/3] ל [-2/3].
פרופורציונאליות היא קשר ליניארי.
זה נכון כי הנוסחאות הללו
מייצגות קוים ישרים.
נסתכל בקני מידה בהקשר פשוט
הגיאומטריה של המדרוג.
נניח שברצוננו לנוע מחדר קטן
לחדר גדול יותר
הנה החדר הנוכחי שלנו,
הוא בעל אורך מסוים והחדר החדש
בעל אורך כפול. כעת, נשאל,
מה גודל המיטה שמתאים לחדר החדש?
ובכן, אורך המיטה מתאים באופן
מידתי וליניארי לאורך הנוכחי.
כלומר, יש לנו אורך של המיטה בחדר
הישן וכעת נוכל להתאים
פי 2 את האורך לחדר החדש.
אנו רואים כאן שאורך המיטה
פרופורציונאלי לאורך החדר.
נוכל להציג זאת גם כך, ככל שאורך החדר
הולך וגדל, אורך המיטה גדל.כלומר,
מתכוונן באופן ליניארי. זוהי דוגמה מאוד פשוטה
נניח שיש לנו שטיח
בחדר המקורי, כעת נרצה שטיח
גדול לחדר החדש. בכמה יותר גדול?
השטח בחדר החדש
שניתן לכסות בשטיח יהיה בקנה מידה
ריבועי לאורך החדר
ריבועי הכוונה שהוא הריבוע של.
משום ששטח הוא בקנה מידה של
ריבוע האורך, שטח השטיח שנוכל להתאים
ישתנה במידה, לפי ריבוע אורך החדר.
אם נכפיל את גודל החדר
זה אומר שהכפלנו פי 4 את המטר הרבוע
של השטיח שיכול לכסות את החדר
משום ש 2^2=4.
הייצוג הגרפי של מדרוג ריבועי יראה כך
אתם רואים שכשאורך החדר
גדל, שטח השטיח עולה, הרבה יותר
מהר מאשר במדרוג הליניארי.
לבסוף, אם החדר שייך לנער מתבגר
כזה שאוהב לערום כביסה עד לתקרה
אני הייתי כזאת
בעצמי.
כעת אני אמא לאחד כזה.
ככל שנקח חדר גדול יותר, נוכל
לערום יותר ויותר בגדים
עד לתקרה. כיצד קנה המידה משתנה
ביחס לאורך החדר?
נפח הכביסה שנוכל להערים עד לתקרה
מתכוונן באופן קובייתי עם אורך
החדר. נפח הכביסה מתכונתי לאורך החדר
בשלישית. זאת משום שהנפח משנה מידה
לפי האורך בשלישית.
רואים זאת בגרף הזה.
נפח הכביסה עולה מהר מאוד ככל שאורך
החדר גדל.
אם נכפיל את אורך החדר, נוכל
להתאים פי 8 כמות כביסה
משום ש- 8 זה 3^2.
באופן כללי, להרבה תכונות יש מה
שאנו מכנים עקומת זנב מדרוגית. למדנו
על עקומת הזנב בחלק של הרשתות
בקורס. כאן הרעיון הוא שיש תכונות
כמו נפח, או שטח שהן יחסיות לגודל.
כאן אנו משתמשים באורך החדר,
בהשפעת כמה קבועי אלפא.
שימו לב לסימון, זהו הסימן של פרופורציונאליות,
וזו האות היוונית אלפא, האקספוננט, כאן
אלפא היא קבוע, אז רק זכרו
שאלו שני סמלים שונים.
זה אומר, שהתכונה שלנו
כמו נפח הכביסה, שווה לקבוע, C
כפול גודל בחזקת אלפא,
כשגם C וגם אלפא
קבועים. נוכל לכתוב זאת
במושגים של X ו Y כש y=cx^alpha
זה מה שנקרא זנב ימני (power law).