Hola amigos. En esta unidad veremos el tema de las escalas.
La escalaridad es el estudio de cómo distintos aspectos de un sistema
cambian mientras el tamaño del sistema se incrementa.
Resulta que los sistemas complejos suelen escalar de maneras a veces sorprendente
y en muchos casos esto no se ha entendido bien.
Aquí veremos algunos de los resultados más sorprendentes
y aveces controversiales de la escalaridad en biología,
y luego daremos una mirada rápida a un trabajo nuevo de
escalaridad en ciudades. Empecemos.
El campo de la escalaridad pregunta cómo los atributos de un sistema
cambian mientras el tamaño de un sistema se incrementa.
Por ejemplo, en biología puedes preguntar cómo los atributos de los organismos
cambian mientras su masa corporal se incrementa.
O en la escala urbana, un área muy popular actualmente, podriamos preguntar
cómo cambian los atributos de las ciudades mientras se incrementa su población.
El estudio de escalas ha sido muy importante en la comunidad de investigadores
de sistemas complejos, porque se pueden ganar muchas pistas de cómo funcionan
los sistemas complejos estudiando cómo el sistema escala.
Hay un simbolo matemático que es muy importante para entender la escalaridad
y es el concepto de proporcionalidad.
Este aquí es el simbolo de proporcionalidad. Una cantidad y es proporcional
a una cantidad x, si y es igual a una constante c (un número), x veces.
Por ejemplo, aquí hay una relación de proporcionalidad.
y es igual a 2 x. Cada vez que x se incrementa, y incrementa el doble.
Aquí hay otro ejemplo. y es igual a menos un tercio de x.
eso es, digamos que x se incrementa de uno a dos, entonces y disminuye
de menos un tercio a menos dos tercios.
La proporcionalidad es un relación lineal.
Pueden ver que eso es verdad porque estas formulas representan líneas rectas.
Veamos el concepto de escalaridad en un contexto muy simple, de escalas geométricas.
Supongan que quieren moverse de su pequeña habitación actual a
una habitación mayor. Aquí está su habitación actual.
Tiene cierta longitud y la nueva habitación tiene el doble de longitud.
Ahora se preguntan: ¿qué tan grande puede ser la cama que mueva
a mi nueva habitación?
El tamaño de la cama que pueden mover escala linealmente con
el tamaño de la habitación.
Esto es: tienen una cama de un tamaño particular en su ex habitación.
Ahora pueden mover una cama el doble de larga en su nueva habitación.
Podemos decir que aquí la longitud de cama es proporcional a la longitud de la habitación.
Pueden trazarlo de esta manera.
Mientras la habitación es más grande, el tamaño de la cama que pueden
meter escala de esta manera lineal.
Ese es un ejemplo muy simple. Supongamos ahora que tienen una
alfombra en tu habitación antigua y ahora puedes tener una más grande
en tu nueva habitación. Bueno el área de la alfombra que ahora puede meter
escala de una manera cuadrática con la longitud de la pieza.
Cuadráticamente significa elevado al cuadrado.
Ya que el área escala con el cuadrado de la longitud, el área de la alfombra que
puedes meter escala con el cuadrado de la longitud de la pieza.
Si doblas la longitud de la habitación, eso significa que cuadriplicas los metros
cuadrados de la alfombra que puedes meter, porque dos al cuadrado es cuatro.
Así es como luciría el trazado para el escalamiento cuadrático.
Pueden ver que mientras se incrementa la longitud de la habitación,
el área de la alfombra sube mucho más rápido que en el caso del escalamiento lineal.
Finalmente si la pieza pertenece a un adolescente,
si tienen un adolescente o si son uno, pueden ser del tipo de adolescente que
apila su ropa sucia hasta el techo. Yo solía ser ese tipo de adolescente
y ahora soy la madre de uno. Mientras tienen una habitación más grande,
pueden apilar más y más ropa hasta el techo.
¿cómo escala eso con el tamaño de su habitación?
Bueno, el volumen de la ropa apilada escala cúbicamente con la longitud
de la pieza. Esto es, el volumen de ropa sucia es proporcional al cubo de
la longitud de la pieza. Eso porque el volumen escala al cubo de la longitud.
Pueden ver eso viendo este trazado. El volumen crece muy rápido
mientras se incrementa la longitud de la habitación.
Así que si doblan el tamaño de su pieza, podrían meter ocho veces la cantidad
de ropa, porque ocho es dos al cubo.
En general, muchos atributos tienen lo que llamamos escalamiento por ley de potencia.
Aprendimos sobre ley de potencia en la unidad de redes.
Aquí la idea es que algunos atributos como el volumen o área es proprocional
al tamaño (aquí usamos la longitud de la habitación), a la potencia de una
constante alfa. Noten la notación. Este es el símbolo de proporcionalidad.
Y esta es la letra griega alfa, el exponente de aquí.
Alfa es una constante. Sólo recuerden que son dos símbolos distintos.
Esto significa que nuestro atributo, como el volumen de la ropa, es igual a una
constante c por el tamaño elevado a una potencia alfa.
Aquí las dos, c y alfa, son constantes. Podemos anotar eso en términos de "y" y "x".
Y es igual a c por x elevado alfa.
Esto es lo que se llama una ley de potencia.