9.4 Distribuciones de grados libres de escala y de cola larga
En esta unidad vamos a cubrir
diferentes aspectos y estructuras de las redes
llamadas, a menudo, estructuras libres de escala
o, más generalmente, estructuras de red de cola larga
Aquí tenemos la idea...
En esta imagen de una típica estructura, que forma parte de la red WWW
Donde los nodos aquí reprsentan a páginas web
Y los enlaces representan las ligas entre ellas
Pueden ver que son direccionales
Una página web direcciona a otra página
Pero no necesariamente lo contrario
Tambien podemos ver "Hubs" (concentradores)
Esta clase de red
Páginas que tienen ligas a muchas otras páginas
Y, también, los hubs son páginas a las que remiten muchas otras páginas
como aquí
Bien,
Entonces, veamos, en contraste
Una red "aleatoria"
Entonces, esto es una red aleatoria
puede parecer como si un montón de nodos estuvieran colocados en forma aleatoria
y conectados entre ellos en forma aleatoria
Entonces, observemos la distribución de grados
de estos diferentes tipos de redes
Aquí tenemos la distribución de grados
para una red aleatoria, como esta,
Este es un gráfico en el que no he puesto valores
pero pueden ver la forma
Esta es una curva con forma de campana,
también llamada como distribución normal
o distribución Gaussiana
o, para ser más precisos, realmente se trata de una distribución de Poisson
Pero no se preocupen por eso
Lo que nos interesa es la forma general de esto
Lo que es interesante de las distribuciones para las redes aleatorias
es que la mayoría de los nodos tienen el mismo número de enlaces hacia ellos
Si observamos quí, en la mitad,
Este grado de la mitad es el grado promedio
La mayoría de los nodos
tienen ese grado
Y un número pequeño de nodos
tienen un grado muy bajo
Un número pequeño de nodos tiene un grado muy alto
Y, después de esto, el número de nodos va rápidamente a cero.
Ahora, comparemos con la distribución de grados
para la red WWW, aproximadamente,
Entonces, aquí en esta imagen de la distribución de grados
Similarmente a estas barras
Excepto que las barras están tan juntas que
parece que son una masa negra sólida
Podemos pensar que es esta es una clase de gráfica de barras
pero las barras estan muy juntas
Entonces, esta distribución se ve muy diferente
de esta otra distribución
Aquí hay un número muy grande de nodos
que tienen un grado bajo
Y un número muy pequeño de nodos con un grado alto
También hay algunas cosas interesante alrededor de esta forma
Si grafico esto de, digamos, 1,000 a 10,000
y supongamos que tomo este pequeño cuadro
aquí... empezando en 10,000
y, ahora, grafico esta pequeña parte
hasta 100,000
pero ahora voy a aumentar esta zona hasta que tenga el mismo tamaño que esta
Entonces, hagámoslo...
Entonces, aquí tenemos de 10,000 a 100,000
Y lo aumentamos completamente, de tal manera que
lo que vemos es el cuadrete que estaba aquí
se vuelve grande aquí
Ahora, por su puesto, es un número menos de nodos
que en la gráfica anterior
pero lo que nos interesa es la forma
Si aumentamos una pequeña parte de esto
la forma se mantiene idéntica
Entonces, empezamos en 100,0000 y vamos hasta el millón,
la forma se mantiene idéntica
Esto suena como en términos de los fractales
tenemos... recuerden que un fractal es
algo del que toman una pequeña parte y al aumentarla
se ve como el objeto original
Es algo que es similar a sí mismo en todos los niveles
Y la distribución de leyes de potencia es, de hecho, un objeto fractal
en la misma forma que lo es una coliflor, un árbol, etc.
En este sentido, si tomamos una pequeña parte y la aumentamos
tiene la misma forma que el original
Entonces esto se llama también una distrinbución "libre de escalas"
Y la razón es que
esta es la idea de la escala
que a toda escala se ve igual
y, entonces, se llama "libre de escala"
Aquí está la distribución de grados aproximada para la web
Se ha reportado, en forma empírica,
que el número de nodos con grado k
es proporcional al inverso de k al cuadrado
Esta clase de expresiones matemáticas
se denominan de "ley de potencia" porque
incluyen a alguna variable elevada a una potencia
Aquí, tenemos el inverso de k al cuadrado
que es equivalente a k elevado a la potencia (-2)
Si hemos escuchado sobre una distribución "libre de escala",
ahora sabemos que es equivalente a una distribución de "ley de potencia"
Y lo que importa saber es cuál es ese exponente
Entonces, la definición de una red "libre de escala"
Es una red con una distribución de grados "libre de escala"
o distribución de "ley de potencia"
Ahora podemos ver que las redes libres de escla son
como fractales
Esto es una anbstracta red libre de escalas
Es parecida un fractal en cuanto a que tiene hubs,
con muchos enlaces salientes
o enlaces entrantes,
y si escalamos hacia abajo
aquí, a este nivel, vemos pequeños hubs
En cada escala, podemos ver pequeños y cada vez más y más pequeños hubs
que tienen la misma forma, aproximadamente, que el la red original
Entonces, tenemos auto-similitud, en cierto grado, dentro de esta red
Yamo a esto "similitud con un fractal"
Y esto es el por qué tiene tiene una distribución de ley de potencia
Y decimos "similar" a una ley de potencia porque en el mundo real
las redes no son realmente libres de escala
de igual manera como en el mundo real los objetos no son realmente fractales,
no son fractales matemáticos,
son aproximaciones a los fractales
Es la misma cosa con las distrubuciones de grados de una red
Debemos apuntar que las redes libres de escala
en sí mismas tienen la propiedad de "pequeño mundo"
es decir, baja distancia en promedio entre nodos y alto agrupamiento
En 1999, Albert Lazlo Barabasi y Reka Albert publicaron un artículo,
en la revista "Ciencia", llamado "Emergencia de escalamiento en las redes aleatorias",
en el que presentan esta idea de las redes libres de escala
a las grandes audiencias
y, realmente, similarmente al artículo de Watts and Strogatz, antes mencionado,
este artículo disparó el interés en el naciente campo de la ciencia de las redes
Barabasi and Albert analizaron muchas redes,
vieron los datos empíricos y propusieron
que las distrubuciones libres de escala son muy comunes
en las redes reales complejas
Otros artículos, como este otro de Clauset, Shalizi y Newman,
son un poco más escépticos en afirmar que los datos están distribuidos con una ley de potencia
Entonces, sólo quiero que estén concientes de que aún
hay controversia sobre si
las redes realemente son libres de escala o no
Evelyn Fox Keller,
una bióloga que estudió las redes,
dijo, en 2005, que
"las actuales afirmaciones sobre la abundancia de las leyes de potencia"
son probablemente sobre-estimadas"
y es probablemente verdad, pero
en general, lo que la mayoría de la gente acepta
es que
muchas redes del mundo real,
probablemente la mayoría de las redes del mundo real,
tienen distribuciones de cola larga
donde "cola larga" simplemente significa
que tiene esta clase de forma
con muchos nodos teniendo un grado relativamente bajo
en comparación con el número de nodos que tienen un alto grado
Y esta distribución se llama de cola larga
en la teoría de la probabilidad
Porque se observa este tipo de cola
Este es el cuerpo y esta es la cola
Y esta se llama distribución de cola larga
cuya cola sigue, sigue y sigue
Y es muy diferente de la curva acampanada de una distribución normal
Aquí tenemos una imagen de una distribución normal
respecto de la estatura humana
y es un bonito ejemplo ya que
las personas están colocadas de acuerdo a su altura
Con las personas más bajas aquí y
las más altas acá
y se puede observar que la mayoría de las personas están agrupadas en la mitad
Hay poca gente muy baja
poca gente muy alta
y la mayoría de la gente en el promedio
Esta distribución normal no tiene una cola larga
ya que llega a cero muy rápido en cada lado
Una distribución de ley de potencia
o una distribución de cola larga no llega a cero,
es decir, tiene una larga cola que arrastra
y esto tiene implicaciones verdaderamente importantes
para las redes del mundo real