Agora podemos fazer experimentos com o método da contagem de caixas
usando o modelo Netlogo chamado BoxCountingDimension.nlogo.
Você pode ver que ele nos permite iterar exemplos de fractais
de modo semelhante ao que fizemos com o modelo anterior.
Aqui estamos fazendo 4 iterações desse fractal, o que faremos agora
é comparar a dimensão de Hausdorff, 1,262 que nós calculamos antes
com uma aproximação obtida através da contagem de caixas.
Eu vou clicar em "Box Counting: Setup", e você pode ver que existe um comprimento inicial da caixa
que está configurado como 10, o qual você pode mudar.
Aqui está a caixa inicial desenhada bem aqui e
o incremento será 1,0, assim nós aumentaremos o comprimento da caixa em 1 unidade
a cada iteração, ok? Aqui nós vemos quantas caixas existem e coisas do tipo.
Fique de olho aqui enquanto ocorre a contagem de caixas,
aqui o modelo vai traçar o gráfico do logaritmo do número de caixas
sobre o log (1 / comprimento da caixa) para cada iteração.
Então vamos em frente, clicando em "Box Counting: Go".
Isso é semelhante ao que vimos quando colocamos
uma grade de caixas sobre a figura, nós não vemos toda a grade, apenas as caixas que contêm partes da figura
e a cada passo,
aqui vemos as iterações,
nós vemos o comprimento da caixa e a quantidade de caixas utilizadas,
e aqui esse valores são plotados no gráfico
nós vemos que eles estão começando a se aproximar de uma linha reta.
Nós continuamos, as caixas se tornam cada vez maiores,
e podemos parar clicando novamente em "Box Counting: Go" a qualquer momento
Eu não deixe executar por muito tempo mas eu tenho alguns pontos,
o que eu posso fazer é clicar em "Find Best-Fit Line" isso faz uma regressão linear
e calcula a dimensão por contagem de caixas, aqui temos 1,122
que é um tanto diferente do valor obtido na dimensão de Hausdorff que foi 1,262
isto se dá porque, lembre-se, a contagem de caixas é apenas uma aproximação.
Podemos obter uma aproximação melhor se começarmos com comprimentos de caixas menores
ou se usarmos um menor valor de incremento, mas isso, é claro, leva mais tempo.
Vamos repetir os passos com a curva de Koch, iterar, iterar, iterar, iterar, iterar, ok?
E agora a aproximação será melhorada aumentando o número de iterações.
"Box Counting: Setup" e depois "Go" e posso acelerar um pouco mais
ainda é um cálculo um tanto lento.
Netlogo não é famoso pela sua grande velocidade computacional,
é um trade off, é fácil de programar mas não é super rápido.
De qualquer forma agora você pode deixar a simulação rodando, ir tomar um pouco de café
como os cientistas da computação gostam de fazer enquanto esperam seus programas terminarem.
E deixe-o rodar por muitas iterações e veja o quão bem a dimensão por contagem de caixas
se aproxima da dimensão de Hausdorff e você verá que o próximo exercício é averiguar isso.