In capitolul anterior am discutat despre dimensiunea fractala a diverselor obiecte
cum ar fi liniile de coasta.
Dar inca nu v-am spus cum dimensiunile fractale
ale obiectelor reale sunt computerizate.
Am putut sa computerizam curba lui Koch sau triunghiul lui Serpinski
pentru ca acestia sunt fractali matematici perfecti, nu obiecte reale.
Dar exista un interes pronuntat in a computeriza dimensiuni fractale
aproximative ale obiectelor reale
Pentru ca ne poate oferi o privire mai apropiata despre sistemele
create in mod natural sau de catre om.
Exista diferite metode de a analiza fractalii si foarte multe carti
ce trateaza acest subiect.
Aici va voi arata o metoda des intalnita pentru a analiza dimensiunea fractala:
Metoda numararii cutiilor.
Metoda numararii cutiilor este in stransa legatura cu ideea ca
Pe masura ce schimbi dimensiunea riglei cu care masori un fractal
obtii o lungime diferita
pe masura ce mergi din ce in ce mai departe
cu scari de lungime din ce in ce mai mici.
Iata, deci, ce inseamna metoda numararii cutiilor:
Iei un anume obiect, aici am o imagine cu coasta Marii Britanii.
Punem pe deasupra acestei imagini o grila cu patrate (cutii),
fiecare cutie avand o anumita lungime a laturii si reprezinta
scara cu care masuram aceasta figura
si in continuare numaram in cate cutii sunt
parti din linia coastei, trasata cu negru.
De exemplu, in aceasta cutie nu apare,
Desi este in mijlocul Marii Britanii, deci cu o punem la socoteala.
Daca continuam cu acest algoritm si numaram cutiile ce contin
parti din acest contur,
Eu am obtinut 36,
Lungimea unei laturi este de 10 unitati pentru fiecare patrat.
Apoi trec la pasul urmator
Si maresc latura cutiilor.
Deci calculez din nou numarul de cutii, dar la o scara diferita.
Aici, pentru ca lungimea laturii a fost mai mare,
am obtinut mai putine cutii care contin parti din figura.
Si apoi maresc din nou.
Aici lungimea laturii unei cutii este 12
si am obtinut 27 de cutii care contin parti din contur.
Si continuand asa, obtinem aceste numere.
Haideti sa ne uitam la relatia dintre
dimensiunea Hausdorff, despre care am invatat deja
si metoda numararii cutiilor.
Daca va amintiti, pentru dimensiunea Hausdorff
aveam o relatie dintre numarul de copii de la pasul anterior
din care scoatem logaritm zecimal
si este egal cu dimensiunea ori logaritmul zecimal din
factorul de reducere de la pasul anterior.
Se poate arata ca daca folosim metoda numararii cutiilor,
Asta se poate aproxima ca fiind logaritm zecimal din numarul
cutiilor
care este egal cu dimensiunea ori
logaritm zecimal din 1 supra lungimea unei laturi.
D se mai numeste si dimensiunea numararii cutiilor
Si daca vreti sa vedeti derivarea acesteia
Si alte detalii despre relatia dintre aceste dimensiuni
uitati-va la capitolul 4 din Fractal Explorer, care este
un site despre fractali.
Exista un link catre el la materialele pentru curs.
Acum intrebarea este cum mai exact obtinem acest D.
Din valorile noastre pentru numarul de cutii si lungimile laturilor.
Daca va aduceti aminte de la algebra,
aceasta ecuatie este ecuatia unei drepte.
Daca o punem pe un grafic
pe axa de aici avem log din lungimea unei laturi, aceasta valoare a lui x,
iar pe axa y avem log din numarul de cutii
iar D va fi panta acestei linii.
Deci ceea ce putem face este sa
luam valorile obtinute la fiecare pas cand am numarat cutiile
si le reprezentam pe grafic.
Deci aici avem niste valori ipotetice pe care le-am obtinut,
pe masura ce numarul de cutii scade, lungimea laturii creste.
Observati ca aici avem 1/latura,
deci pe masura ce lungimea laturii creste, asta scade.
Se poate vedea ca daca asta e adevarat, aici obtinem o dreapta
a carei panta este dimensiunea.
Putem estima dimensiunea desenand aceste puncte pe grafic,
trasam o dreapta printre ele, ii aflam panta
si asta este dimensiunea noastra.
Si cam asta este, mai grosier spus, ceea ce se foloseste pentru a calcula
dimensiunea fractala pentru obiecte cum ar fi liniile de coasta.