Dans l'unité précédente,
J'ai parlé de la dimension fractale de divers objets
tels que les côtes.
Mais je ne vous ai pas encore dit comment ces
dimensions fractales du monde réel ont été calculées.
Il nous a été possible de calculer la dimension fractale
de la courbe de Koch et du triangle de Sierpiński,
parce que ce sont de parfaites fractales mathématiques
et non pas des objets du monde réel,
mais il y a un grand intérêt à calculer la dimension fractale approximative
du monde réel parce que ceci peut révéler un aperçu
des systèmes naturels ou humainement créés
Il y a un grand nombre de méthodes
pour analyser les fractales et
des livres entiers sont consacrés au sujet.
Ici je vais vous montrer une méthode couramment utilisée
pour estimer les dimensions fractales.
La dimension "box-counting"
La dimension "box-counting" est en relation étroite avec l'idée que
lorsque vous changez la taille de la règle
avec laquelle vous mesurez une fractale,
vous obtenez des longueurs différentes
alors que vous allez vers des tailles
de plus en plus petites dans l'échelle de longueur.
Voici en quoi consiste la méthode "box-counting".
Nous prenons un objet particulier,
ici j'ai une image des côtes britanniques,
et nous recouvrons cette figure
par une grille composées de carrés. Chaque carré a
une certaine longueur de côté qui représente l'échelle de mesure pour cette figure,
et maintenant nous comptons le nombre de carrés
dans lesquels la partie noire des côtes apparaît.
Par exemple elle n'apparaît dans ce carré,
même s'il est au milieu de la Grande Bretagne, donc nous ne le prenons pas en compte.
Donc nous poursuivons cette procédure
et nous comptons le nombre de carrés qui contiennent une partie de ce contour noir.
J'ai compté 36 carrés.
La longueur des côtés est de 10 unités pour chaque carré.
Maintenant je passe à l'étape suivante et j'agrandis la taille des carrés.
Je calcule le nombre de carrés mais à une échelle différente.
Ici, parce que les côtés des carrés sont plus larges,
j'obtiens moins de carrés contenant les parties de la figure.
Puis je continue encore,
ici les carrés sont encore plus larges: 12
et j'obtiens 27 carrés contenant les parties de la figure.
Et nous continuons ainsi en complétant cette liste de nombres.
Regardons maintenant le relation entre la dimension Hausdorff que vous connaissez déjà,
et la dimension "box-counting".
Si vous vous souvenez, pour la dimension Hausdorff nous avions une relation,
constituée par le nombre de copies d'une figure au niveau précédent,
nous prenons le log de ce qui était égal à la dimension D
multiplié par le log du facteur de réduction du niveau précédent.
Il peut être montré que si vous prenez cette méthode "box-counting",
ceci peut être approché en prenant le log du nombre de boîtes
qui est égal à la dimension D multiplié par le log
de 1 sur une longueur d'un côté.
D est appelé la dimension "box-counting"
et si vous voulez en voir la dérivation et d'autre détails sur
la relation entre ces dimensions, regardez le chapitre 4
de l'Explorer Fractal qui est un site web sur les fractales.
Et il y a un lien sur notre page de support de cours.
Maintenant la question est comment obtenons-nous ce D à partir des valeurs des nombres de carrés
et des longueurs des côtés des carrés?
Eh bien, si vous reprenez votre algèbre, vous avez pu remarquer que
cette équation est finalement l'équation d'une ligne droite.
Si nous l'appliquons sur un graphe où les axes
sont ici le log de 1 sur la longueur d'un côté, c'est l'axe des x,
et l'axe des y est le log du nombre de carrés,
et D serait la pente de la ligne droite.
Donc ce que nous pouvons faire est de prendre les mesures que nous avons faites à chaque niveau
pour compter les carrés
et nous pouvons appliquer chaque mesure sur ce graphique.
Donc voici quelques mesures hypothétiques que nous aurions pu avoir,
où le nombre de carrés diminue alors que la longueur des côtés des carrés augmente.
Voici 1 sur la longueur d'un côté des carrés
et quand la longueur augmente cette valeur diminue.
Vous pouvez constater que si cette équation est vraie, elle doit former une ligne droite
dont la pente est la dimension.
Donc nous pouvons estimer la dimension
en répartissant ces points en fonction des mesures des carrés que nous avons faites
et donc obtenir ces points,
tracer une ligne droite sur ces points qui montre la pente de cette ligne
et c'est la mesure de notre dimension.
Et c'est que qui a été fait approximativement pour calculer des choses comme
la dimension fractale des côtes.