در زیر بخش قبل
من درباره ابعاد فراکتال اشیا مختلف حرف زدم
مانند سواحل
اما هنوز چیزی به شما نگفته ام که چگونه
این ابعاد فراکتال جهان واقعی محاسبه می شود.
این برای ما ممکن بود که ابعاد فراکتال را
برای منحنی در مثلث سیرپینسکی محاسبه کنیم
چرا که اینها فراکتال های دقیق ریاضی هستند
نه اشیا جهان واقعی
علاقه زیادی به محاسبه تقریبی
ابعاد فراکتال در جهان واقعی وجود دارد
چرا که می تواند بینشی درباره
طبیعت و یا سیستم های ساخت انسان را آشکار کند
روش های مختلفی برای تحلیل فراکتال ها وجود دارد
و کتاب هایی به این موضوع اختصاص یافته است.
در اینجا من یک روش مرسوم
برای محاسبه ابعاد فراکتال را نشان می دهم : روش شمارش جعبه
روش شمارش جعبه خیلی به این ایده مربوط می شود که
وقتی شما اندازه خط کش، که با آن فراکتال هارا انداره می گیرید،
را تغییر دهید طول های متفاوتی به دست خواهید آورد
همان طور که بیشتر و بیشتر به طول های کوچکتر و کوچکتر می روید.
این همان چیزی است که روش شمارش جعبه از آن تشکیل شده
شما یک شیی خاص را می گیرید
اینجا من تصویری از ساحل بریتانیا را دارم
کاری که می کنیم این است که
تصویر را با شبکه ای از جعبه ها می پوشانیم
هر جعبه دارای طولی مربوط به پهنای آن است
که اسکالری است که در تصویر اندازه می گیریم
کاری که می کنیم این است که تعداد جعبه هایی را می شماریم
که در آن بخشی از خط سیاه ساحل معلوم باشد.
مثلا در این جعبه معلوم نیست
با این که این در میانه بریتانیا است آن را نمی شماریم
پس این روال را ادامه می دهیم و جعبه هایی را می شماریم که شامل
خط سیاه شوند.
من 36 به دست آوردم.
طول کناره 10 واحد برای هر جعبه است
حالا به مرحله بعدی می روم
و اندازه جعبه ها را افزایش می دهم.
بنابراین الان تعداد جعبه ها را در یک مقیاس دیگر می شمارم.
چون طول کناره های جعبه بزرگتر است تعداد کمتری جعبه دارم که شامل تصویر شود
حالا باز بزرکتر می کنم
اینجا اندازه جعبه ها بزرکتر شد ، 12
و من 27 جعبه به دست آوردم که بخشی از تصویر را شامل می شود
وقتی این کار را ادامه دهیم این لیست اعداد را انباشته می کنیم
بگذارید نگاه کنیم به رابطه بین بعد هاوسدورف که قبلا یاد گرفته بودیم
و بعد شمارش جعبه
اگر یادتان بیاید برای بعد هاوسدورف رابطه ای داشتیم که
تعداد کپی های تصویر از مرحله قبل
اگر از آن لگاریتم بگیریم
مساوی بعد ضربدر ضریب کاهش مرحله قبل می شود
می توان نشان داد اگر روش شمارش جعبه را انجام دهیم
این می تواند تقریب زده شود
با نگاه به این که لگاریتم تعداد جعبه ها
برابر می شود بعد ضربدر یک بر روی طول کناره
D بعد شمارش جعبه ای خوانده می شود.
و اگر بخواهید به دست آوردن آن را ببینید و جزییات دیگری از ارتباط بین دو بعد
به فصل 4 Fractal Explorer نگاه کنید
که وبسایتی درباره فراکتال ها است.
و لینکی در در صفحه مواد درسی به آن وجود دارد
حالا سوال این است که چگونه D را از روی مقادیر تعداد جعبه ها و طول کناره ها
اندازه بگیریم
از روی جبر ممکن است متوجه شده باشد که این معادله
در واقع معادله یم خط صاف است.
اگر آن را در یک نمودار بکشیم
که محور ها در آن لگاریتم 1 بر روی طول کناره ها
به عنوان مقدار x
و محور y لگاریتم تعداد جعبه ها است.
و D شیب این خط صاف است.
پس کاری که می توانیم کنیم این است که
اندازه گیری که برای تعداد جعبه ها در هر مرحله انجام دادیم
را می توان در این نمودار رسم کرد.
این یک اندازه گیری فرضی است که ممکن است به دست آوریم
با بالا رفتن طول کناره ها تعداد جعبه ها کم می شود
توجه کنید که این عکس طول کناره است.
پس وقتی طول کناره بالا می رود این کاهش می یابد.
پس اگر این درست باشد
این یک خط صاف تشکیل می دهد که شیب آن بعد است
بنابراین می توان D را با رسم این نقاط
با انجام اندازه گیری ها برای جعبه ها این نقاط را رسم می کنیم
خط صافی از میان آن رسم می کنیم
با فهمیدن شیب آن ، آن بعد اندازه گیری شده است.
و این دقیقا همان چیزی است که مردم برای محاسبه چیز هایی مثل
ابعاد فراکتال ساحل انجام می دهند.