En la sub-unidad previa hablé de la
dimensión fractal de varios objetos
como las líneas costeras , pero aún no
les he mencionado cómo estas dimensiones
fractales del mundo real son computadas.
Para nosotros fue posible computar
la dimensión fractal de la curva de Koch
y del triángulo de Sierpinsky
porque son fractales matemáticamente
perfectos, no objetos del mundo real.
Pero hay mucho interés en computar
dimensiones fractales aproximadas en el
mundo real, porque suelen ofrecer ideas
sobre sistemas naturales o creados por el hombre.
Hay variados métodos para analizar fractales
y hay libros enteros dedicados a este tema.
Aquí les mostraré un método comunmente
utilizado para estimar la dimensión fractal: el método de conteo de cajas.
El método de conteo de cajas se relaciona
cercanamente con la idea de que mientras
cambias el tamaño de la regla con la que
mides un fractal, obtienes una medida distinta
mientras vas disminuyendo las escalas de longitud.
Así que en esto consiste el método:
tomas un objeto particular.
Aquí tengo una imagen de la línea costera británica.
Entonces lo que hacemos es cubrir esta
figura con una rejilla de cajas o cuadros.
Cada cuadro tiene una longitud de lado
que es la escala con la que estamos midiendo esta figura.
Y lo que hacemos es contar el número de cuadros en los que
parte de la línea costera aparece.
Por ejemplo, no aparece en este cuadro
aunque marca el centro de Gran Bretaña, así que no lo contamos
Si seguimos este procedimiento y contamos el número de
cuadros que contienen parte de esta línea tenemos 36.
La longitud de lado fue de 10 unidades por cuadro.
Ahora voy al siguiente paso e incremento
el tamaño de los cuadros. Así que ahora
calculo el número de cuadros pero
en una escala diferente. Aquí porque el
tamaño de un lado de un cuadro es mayor,
tengo menos cuadros que contienen parte de la imagen.
Luego subo otra vez.
Aquí el tamaño del cuadro es
mayor nuevamente, doce. Y tengo 27 cuadros
que contienen parte de la figura.
Siguen haciendo esto y acumulando esta
lista de números. Veamos la relación entre
la dimensión de Hausdorff que ya
aprendimos y el método de conteo de cuadros.
Si recuerdan, para la dimensión de Hausdorff
teníamos una relación que era el número de copias de
una figura de un nivel anterior, y tomábamos
su logaritmo, que era igual a la dimensión
por el logarimto del factor de reducción del nivel anterior.
Se puede demostrar que
si ocupas este método de conteo de cuadros
esto se puede aproximar mirando
al logarimto del número de cuadros que es
igual a la dimensión por el logaritmo de
uno sobre la longitud de lado.
"D" es la dimensión de conteo de cuadros.
Si quieren ver la derivación de esto y
otros detalles sobre la relación entre
estas dimensiones, vean el capítulo 4
del "Explorador de Fractales", que es un
sitio web sobre fractales, del cual hay un
link desde nuestra pagina de materiales de curso.
Ahora la pregunta es cómo obtenemos
esta "D" de nuestros valores de números
de cuadros y longitudes de lado.
Pueden notar que esta ecuación
es de hecho la ecuación de una
línea recta si la trazamos en una gráfico
donde los ejes aquí son el logaritmo de
uno sobre la longitud de lado - este valor x -
y el eje y es el logaritmo del número de cuadros.
"D" sería la pendiente de esta línea.
Entonces podemos tomar las
medidas que tomamos para cada nivel del
conteo de cuadros, y trazar cada medida en este gráfico.
Aquí tenemos unas medidas hipotéticas que podríamos
haber obtenido, en las que el número de cuadros disminuye
mientras aumenta la longitud de lado.
Ahora, esto es uno sobre la longitud de lado
así que mientras la longitud de lado aumenta,
esto disminuye.
Pueden ver que de ser esto verdad
debe formarse una línea recta cuya pendiente es la dimensión
por lo que podemos estimar la dimensión
tomando las medidas de nuestros cuadros y trazando estos puntos
dibujando una linea recta entre ellos y
averiguando cuál es la pendiente de esa
línea, y esa es nuestra dimensión.
Eso es, aproximadamente, lo que la gente hizo
para calcular cosas como la dimensión fractal de una línea costera.