În acestă lecție vă voi oferi câteva exemple despre felul în care se utilizează dimensiunea fractalilor aât din punct de vedere matematic cât și în lumea reală.
În lecția anterioară am stabilit o definiție generală a dimensiunii care se poate aplica și în cazul fractalilor.
La fiecare nivel vedem logaritmul numărului de copii ale obiectului de la nivelul anterior...
și valoarea de reducție a mărimii unei laturi sau a unui segment de la nivelul anterior.
Folosind această definiție, am calculat că dimensiunea curbei Koch este aproximativ 1,26
Acum, dacă nu ați înțeles cum am ajuns aici, nu vă faceți griji, puteți folosi formula.
Și trebuie să precizez că aceasta este una dintre cele câteva metode prin care se poate calcula dimensiunea unui fractal.
Se numește ”Dimensiunea Hausdorff”, după matematicianul german Felix Hausdorff.
Haideți să ne uităm la un alt fractal faimos denumit ”Triunghiul Sierpinski” care a fost propus de matematicianul polonez Waclaw Sierpinski în 1916.
Pentru acest fractal începem cu un triunghi. Regula noastră pentru repetiție este să îndepărtăm triunghiul format dacă unim punctele de pe mijlocul celor trei laturi ale triunghiului inițial.
Avem punctele situate pe mijlocul celor trei laturi ale triunghiului...
le conectăm și scoatem triunghiul rezultat.
Am rămas acum cu trei triunghiuri mai mici, ale căror laturi sunt egale cu jumătate din lungimea laurilor triunghiului inițial.
Haideți să repetăm pentru câteva nivele... mai repetăm o dată....
aplicăm aceași regulă la fiecare triunghi - pentru fiecare dintre cele trei triunghiuri...
Acum avem 9 triunghiuri mai mici ale căror laturi sunt egale cu jumătate din lungimea laurilor triunghiurilor de la nivelul anterior.
Și putem face acest lucru din nou și din nou...
și vom începe să vedem o figură frumoasă și interesantă.
Acum, având în vedere definiția noastră privind dimensiunea fractalilor, iată o întrebare simplă pentru voi:
Care este formula specifică pentru calcularea dimensiunii fractalului pentru această figură?
Acum, e puțin mai delicat...
pentru că o condiție la numitor o reprezintă factorul de reducție a laturei...
nu întregul triunghi.
Deci este factorul de reducție a lungimii laturii triunghiului...
țineți minte asta.