Dans cette sous-unité,
je vais donner quelques exemples de dimension fractale
dans un monde abstrait et dans le monde réel.
Dans la sous-unité précédente,
nous avons dérivé une définition généralisée de la dimension,
qui peut être appliquée aux fractales.
À chaque niveau, nous avons cherché le logarithme
du nombre de copies de l'objet du niveau précédent,
et le facteur de réduction de la taille d'un côté ou d'un segment du niveau précédent.
Avec cette définition, nous avons calculé
que la dimension de la Courbe de Koch était environ 1.26.
Si vous n'avez pas compris cette dérivation,
ne vous inquiétez pas:
vous pouvez toujours utiliser la formule.
Et je devrais dire que c'est une des nombreuses méthodes
qui permettent de calculer la dimension fractale d'un objet.
Elle est appelée la Dimension Hausdorff,
d'après le mathématicien allemand Felix Hausdorff.
Voyons une autre fractale célèbre,
appelée le Triangle de Sierpinski.
Elle a été proposée par le mathématicien polonais Waclaw Sierpinski en 1916.
Ici, nous commençons avec un triangle.
La règle de répétition est d'ôter le triangle formé
en connectant le milieu des trois côtés.
Donc vous prenez le milieu de chacun des côtés,
vous les connectez et retirez le triangle ainsi formé.
Il nous reste maintenant trois petits triangles,
dont le côté est exactement la moitié de l'original.
Répétons cela sur quelques niveaux,
Nous répétons une nouvelle fois, avec la même règle sur chacun des trois triangles,
et maintenant nous avons neuf petits triangles,
dont le côté mesure la moitié du triangle au niveau précédent.
On peut faire cela encore et encore...
Et on finit par obtenir une figure assez intéressante.
Maintenant, si on considère notre définition de la dimension fractale,
Voici une simple question de Quiz:
Quelle est la formule spécifique de la dimension fractale pour cette figure?
C'est un peu compliqué,
parce que les termes du dénominateur concernent le facteur de réduction des côtés,
et non du triangle entier.
Donc il s'agit du facteur de réduction de la longueur du côté du triangle.
Souvenez-vous en.