Σε αυτήν την υποενότητα θα δώσω κάποια παραδείγματα της χρήσης της fractal διάστασης,
τόσο σε αφηρημένες όσο και σε υπαρκτές περιπτώσεις fractals.
Στις προηγούμενες υποενότητες εξαγάγαμε ένα γενικό ορισμό
της "διάστασης", που θα μπορούσε να εφαρμοστεί στα fractals.
Σε κάθε επίπεδο, κοιτάμε το λογάριθμο του αριθμού των αντιγράφων
του αντικειμένου, που υπάρχουν στο προηγούμενο επίπεδο
και τον παράγοντα σμίκρυνσης για το μήκος μιας πλευράς
ή για ένα τμήμα του αντικειμένου, σε σχέση με το προηγούμενο επίπεδο.
Χρησιμοποιώντας αυτόν τον ορισμό, υπολογίσαμε ότι η διάσταση
της καμπύλης του Koch, ήταν περίπου 1,26.
Τώρα, αν δεν καταλάβατε πώς βγήκε αυτό το αποτέλεσμα,
μην ανησυχείτε, μπορείτε πάντα να χρησιμοποιήσετε τον γενικό τύπο.
Και πρέπει να σημειώσω ότι αυτή είναι μία μόνο από τις πολλές μεθόδους που χρησιμοποιούνται
για να υπολογίσουμε τη fractal διάσταση ενός αντικειμένου.
Ονομάζεται "Διάσταση Hausdorff", από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού Felix Ηausdorff.
Aς δούμε ένα άλλο διάσημο fractal, το λεγόμενο "Τρίγωνο Sierpinski",
που προτάθηκε από τον Πολωνό μαθηματικό
Waclaw Sierpinski, το 1916.
Σε αυτό το fractal ξεκινάμε με ένα τρίγωνο. Ο κανόνας μας για την επανάληψη
είναι να "αφαιρούμε" από το τρίγωνο το τριγωνικό κομμάτι που προκύπτει αν
ενώσουμε τα μέσα των τριών πλευρών του αρχικού τριγώνου.
Άρα παίρνουμε το μέσο κάθε μίας πλευράς του αρχικού τριγώνου,
τα συνδέουμε και αφαιρούμε από το σχήμα το τρίγωνο που σχηματίζεται.
Τώρα εμφανίζονται τρία μικρότερα τρίγωνα, καθενός από
τα οποία η πλευρά έχει μήκος ακριβώς το μισό
από αυτό της πλευράς του αρχικού τριγώνου.
Ας το επαναλάβουμε για μερικά επίπεδα ακόμη...
έτσι επαναλαμβάνουμε μία ακόμη φορά, εφαρμόζοντας τον ίδιο κανόνα σε κάθε πλευρά καθενός από τα τρία νέα τριγώνα
Έτσι τώρα έχουμε εννιά μικρότερα τρίγωνα,
καθενός από τα οποία η πλευρά είναι το μισό από
το μήκος της πλευράς των τριγώνων στο προηγούμενο επίπεδο.
Και μπορούμε να το κάνουμε αυτό ξανά και ξανά..
οπότε αρχίζει να σχηματίζεται ένα πραγματικά όμορφο και ενδιαφέρον σχήμα.
Τώρα, αν θυμηθούμε τον ορισμό μας για τη fractal διάσταση
να μια απλή ερώτηση-κουίζ για σας:
Ποιός είναι ο μαθηματικός τύπος για τη fractal διάσταση
αυτού του σχήματος;
Αυτό είναι λίγο δύσκολο, επειδή ο όρος στον παρονομαστή είναι ο παράγοντας σμίκρυνσης
της κάθε πλευράς και όχι ολόκληρου του τριγώνου.
Άρα είναι ο παράγοντας σμίκρυνσης στο μήκος της πλευράς
του τριγώνου... Αυτό να το θυμάστε...