Acum putem scrie propria noastră definiție a dimensiunii
Să presupunem că vrem să
creăm o structură geometrică pornind de la un obiect cu dimensiunea D
ca de exemplu o linie, un pătrat sau un cub
și împărțim în mod repetat lungimea laturei obiectului la M.
Astfel am procedat și anterior.
De, exemplu, când am împărțit în două laturile la M acesta era egal cu 2 (M=2).
Când am împărțit în trei laturile la M acesta era egal cu 3 (M=3) etc.
Aceasta este metoda noastră și am văzut că la fiecare nivel
am avut un număr de copii ale figurii de la nivelul inferior egal cu M ridicat la puterea D (M^D)
toate aceste copii find divizate conform unui factor egal cu M.
Deci, denumim numărul de copii N.
OK, avem N egal cu M ridicat la puterea D (N=M^D)... toată operația o denumim N.
Acum putem defini D formând logaritmul pentru ambele părți,
avem log N este egal cu D care intră în log M (N=D log M)
folosind una dintre regulile legate de logaritmi pe care am văzut-o într-o înregistrare anterioară.
Și acum putem spune că D, dimenisiunea, este egală cu log N supra log M (D=log N/log M).
Astfel, dimensiunea este definită ca logaritmul numărului de copii care au rezultat ca urmare a diviziunii laturilor obiectului la un număr.
OK, acum haideți să vereficăm ca să vedem dacă formula aceasta este în concordanță cu noțiunea noastră standard privind dimensiunea.
Verificăm pentru Dimensiunea 1 (obiecte uni-dimensionale),
să spunem ca în versiunea anterioară M egal cu 2 (M=2)
Astfel, împărțim fiecare latură în două părți egale,
atunci M este doi și N, numărul de copii rezultate din linie, este 2,
deci dacă spunem D, dimensiunea este egală cu log 2 supra log 2, este egal cu 1 (D=log2 / log 2 = 1)
Deci, merge pentru că obținem dimensiunea corectă, Dimensiunea-1
Acum să verificăm pentru dimensiunea segmentelor în cazul în care împărțim latura în 3.
Pentru a împărți în 3, M este egal cu trei (M=3)
Am împărțit fiecare latură în 3 părți egale.
Deci țineți minte, pentru o dimensiune N, numărul de copii era 3 (N=3).
Deci avem D egal cu log 3 supra log 3 egal cu 1 (D= log 3/ log 3 = 1)
Deci din nou funcționează pentru că am primit răspunsul cu privire la dimensiunea care este egală cu 1 (D=1)
Deci, formula noastră oferă rezultatul pe care noi, în mod intuitiv, îl considerăm a fii răspunsul corect privind dimensiunea.
Haideți să verificăm în cazul obiectelor bi-dimensionale (Dimension 2).
Penru obiectele bi-dimensionale, dacă împărțim la 2 dimensiunea este egală cu log 4 supra log 2.
Care este egal cu 2 (D = log 4/ log 2 = 2).
Puteți verifica acest lucru pe calculator dacă vreți.
Dacă împărțim la 3 avem M gal cu trei (M=3) și N egal cu nouă (N=9).
Deci D este egal cu log 9 supra log 3 care este egal cu 2 (D= log 9/log3=2), deci merge.
Și în final pentru (obiectele tri-dimensionale) Dimensiuna 3... vă las pe voi să verificați asta și vă promit că merge.
Acum, toate aceste lucruri ne aduc spre ceea ce vrem să facem,
și anume să calculăm dimensiunea curbei Koch,
deci, dacă vă amintiți pentru curba Kock desenăm un segment, ștergem o treime din mijlocul lui
și înlocuim acea treime cu un unghi ale cărui laturi au aceleași dimensiuni ca și celalte părți rămase din segment.
Asta înseamnă 1/3 din segmentul original în noua configurație.
Și repetăm operațiunea din nou și din nou până când rezultă ceva asemănător.
Și putem continua atât timp cât dorim.
Deci, pentru curba Koch, M este egal cu 3 (M=3).
Asta înseamnă, aduceți-vă aminte, că reducem segmentele împărțindu-le la 3.
N, numărul de copii la fiecare nivel este 4 (N=4)
La fiecare nivel, înlocuim figura de la nivelul anterior cu patru copii în această configurație.
Deci, conform definiției, dimensiunea curbei Koch este
log 4 supra log 3, asta înseamnă, log N supra log M (D = log 4/log 3 = log N/log M).
care este, dacă faceți calculul, aproximativ egal cu 1,26 (D=1,26).
Dar ce înseamnă asta?
Păi, în primul rând înseamnă că dimensiunea curbei este aproximativ 1,26.
Asta înseamnă că dimensiunea se apropie din ce în ce mai mult de 1,26 pe măsură ce repetăm operațiunea de dividere pe mai multe nivele.
Dar ce înseamnă 1,26? Ce înseamnă o dimensiune care este între 1 și 2?
Nu este ușor să înțelegeți acest lucru în mod intuitiv,
dar vă pot spune că astefel se măsoară cu cât crește numărul de copii pe măsură ce scade dimensiunea segmentului.
Aproximativ, se măsoară densitatea structurilor similare cu ele însele.
Pentru figurile geometrice obișnuite, aceată dimensiune este un număr întreg.
dar pentru fractali care prezintă o probabilitate de a avea
o mai mare densitate de structuri similare între ele,
dimensiunea poate fii un număr cu zecimale.
Deci ca să vă faceți o idee despre acest lucru vă voi da un citat din cartea mea ”Complexitatea: Un tur cu ghid”
unde menționez ce înseamnă dimensiunea fractalilor.
Am observat multe încercări și descrieri intuitive privind dimensiunea fractalilor
De exemplu, se spune că dimensiunea fractalilor reprezintă rugozitatea, aspectul neuniform, crestat sau complicat al unui obiect,
gradul de fragmentare al unui obiect, și cât de ”densă” este structura obiectului.
Dar o descriere care îmi place foarte mult este reprezentată de noțiunea poetică conform căreia dimensiunea fractalilor ”cuantifică cascada de detalii” aparținând unui obiect.
Asta înseamnă că se cuantifică câte detalii se pot observa la fiecare nivel
pe măsură ce ne afundăm mai adânc în cascada infinită de structuri similare între ele.
Pentru structuri care nu sunt fractali, cum ar fi o bucată de marmură, netedă și rotundă,
dacă te uiți la structura ei amplificând din ce în ce mai mult
veți ajunge la un nivel unde nu veți mai găsi detalii interesante.
Fractalii, pe de altă parte, au detalii intersante la toate nivelele,
iar dimensiunea unui fractal, într-o anumită măsură cuantifică cât de intersante sunt aceste detalii
ca o funcție legată de amplificarea care trebuie aplicată la fiecare nivel pentru a vedea detaliile.
Aceasta a fost desacriera din cartea mea,
și, desigur, descrierea care supune că obiectele trebuie să aibă detalii intersante la toate nivelele se aplică și in cazul fractalilor matematici
dar este aproximata în cazul a ceea ce noi denumim fractali în natură.