Agora nos podemos escrever nossa precisa definição de dimensão.
Suponhamos que continuamos fazer o que temos feito;
quer dizer, criamos uma estrutura geométrica de um dado objeto D-dimensional como uma linha, um quadrado ou um cubo,
dividindo repetidamente o tamanho de seus lados por um número M
Então isto é somente o que estávamos fazendo antes.
Por exemplo, quando estávamos bissectando os lados, o número M era 2 (M=2)
Quando estávamos trissectando os lados, o número M era 3 (M=3), etc
Então, esta é a nossa receita, and vimos que a cada novo nível
obtivemos M elevado a potência D (M^D) cópias da figura do nível anterior
todos contraídos por um fator de M.
Então vamos chamar o número de cópias N.
Ok, então temos que N é igual a M elevado a D (N=M^D) .... nós estamos renomeando isto para N.
Agora podemos definir D pegando o logarítmos de ambos os lados,
então temos que o log N é igual a D vezes o log M (log N= D log M)
usando uma das regras dos logarítmos que vimos no vídeo anterior.
E então podemos dizer que D, a dimensão, é igual ao log N sobre o log M (D= log N/log M)
Quer dizer, dimensão é definida como o logarítmo do número de cópias que obtemos, dividido pelo valor o qual reduzimos do tamanho dos lados.
Sim, vamos verificar que a fórmula verdadeiramente concorda com a nossa noção padrão de dimensão.
Para verificar isto para Dimensão-1,
vamos tomar a versão bissectada one M é igual a 2 (M=2).
Quer dizer, dividimos cada lado em duas metades iguais,
e então M é 2 e N, o número de cópias da linha, é 2,
então se dissermos que D, a dimensão, é igual ao log 2 sobre o log 2, obtemos (D = log 2/ log 2=1).
Isto funciona porque nos dá a dimensão correta, Dimensão 1.
Então agora, vamos olhar para a versão trissectada.
Para trissectar, M é igual 3 (M=3),
Nós dividimos cada lado em tres partes iguais.
Então lembre-se, para uma dimensão N, o número de cópias, foi tres (N=3).
Então obtemos D igual ao log tres sobre log 3, o que é igual a um (D= log 3/log 3 = 1).
Outra vez, isto funciona porque obtemos a resposta de que a dimensão é um (D=1).
Então nossa fórmula concorda com o que intuitivamente consideramos como sendo a resposta para a correta dimensão.
Vamos verificar para objetos de dimensão 2.
Para ojetos de dimensão 2, como estamos bissectando, a dimensão é igual ao log quatro dividido pelo log dois. Isto é igual a dois (D= log 4/log 2 =2).
Voce pode verificar isto na sua calculadora se preferir.
Para trissectar obtemos M igual a 3 (M=3) e N igual a nove (N=9).
Então D é igual ao log nove dividido por log três, o que é igual a 2 ( D = log 9/log 3 =2), então isto funciona.
E finalmente, para Dimensão 3 .... Bem, deixarei que voce verifique isto, mas prometo que funciona.
Agora, tudo isto está indo para o que realmente queremos fazer,
que é calcular a dimensão da Curva Koch.
Então, se voce se lembra da Curva Koch,
nos desenhamos um segmento, e então cortamos a terceira metade,
e então substituimos a terceira metade por um ângulo cujos lados são do mesmo tamanho que os outos dois lados.
Isto é, um terço do segmento original nesta configuração.
Então nós iteramos isto outra vez e outra vez até nós finalmente chegarmos a algo que se parece com isso.
Podemos prosseguir por quanto tempo quizermos.
Então, para a Curva Koch, M é igual a 3 (M=3)
Quer dizer, lembre-se que estamos reduzindo o lado do segmento pelo fator 3.
N, o número de cópias em cada nível é 4 (N=4)
Em cada nível, estamos substituindo a figura do nível anterior por quatro cópias disposta nesta configuração.
Então, de acordo com a nossa definição, a dimensão da Curva Koch é
log 4 dividido por log 3, quer dizer, log N dividido por log M ( D = log 4/log 3 = log N/log M)
o qual, se voce colocar na sua calculadora, voce vai achar ser aproxidamente 1.26 (D=1.26)
Mas exatamente o que isto significa?
Bem, de um lado, isto significa que a dimensão desta curva se aproxima a 1.26
Quer dizer, fica mais e mais perto de 1.26 ao passo que iteramos por mais níveis
Mas o que 1.26 significa? O que uma dimensão que está entre 1 e 2 (1 < D < 2) realmente significa?
Isto não é fácil de compreender intuitivamente,
Mas posso dizer que é uma medida de como o número de cópias se escala com a diminuição do tamanho de um segmento.
Mais grosseiramente falando, é um tipo de densidade da auto-similaridade
Para figuras geométricas regulares, esta dimensão é um número inteiro
mas para fractals, que possuem a possibilidade da densidade de auto-similaridade,
a dimensão pode ser fracional.
Então, só para lhe dar uma idéia sobre isso, deixe me citar um pouquinho do meu próprio livro, "Complexity: A Guided Tour"
onde eu falo sobre o que dimensão fractal significa. Então, para citar:
Eu já vi muitas tentativas de se descrever intuitivamente o que uma dimensão fractal significa.
Por exemplo, já foi dito que dimensão fractal representa a aspereza, o acidentamento, ou a complicação de um objeto
O grau de fragmentação de um objeto, and o quão denso a estrutura do objeto é.
Mas uma descrição que eu gosto muito é uma noção mais poética de que a dimensão fractal ´quantifica a cascata do detalhe` de um objeto.
Quer dizer, quantifica quanto detalhe pode-se ver em todas as escalas
ao passo que voce mergulha mais profundamente na infinita cascata de auto-similaridade.
Para estruturas que não são fractais, como um mármore redondo e liso,
se voce continuar olhando para a estrutura com magnificação cada vez maior
eventualmente encontrará um nível onde não existem detalhes interessantes.
Fractais, por um outro lado, têm detalhes interessantes in todos os detalhes
a dimensão fractal, em um certo sentido, quantifica o quão interessante este detalhe é
como uma função de quanta magnification voce tem fazer a cada nível para voce ver.
Então esta foi a descrição do meu livro,
e, é claro, a descrição de ter detalhes interessantes em todos os níveis se aplica para aperfeiçoar fractais matemáticos
mas é aproximada pelo o que chamamos de fractais na natureza.