Ora possiamo scrivere la nostra definizione precisa di dimensione.
Supponi di fare ciò che abbiamo fatto;
creo una struttura geometrica da un oggetto a D-dimensioni come linea, quadrato o cubo
dividendo ripetutamente la lunghezza dei suoi lati per un numero M.
E' proprio ciò che abbiamo fatto prima.
Ad es. quando abbiamo diviso in 2 i lati, il numero M era 2.
Quando abbiamo tri-secato i lati, M era 3, eccetera.
Quindi questa è la nostra ricetta, e vediamo che ad ogni nuovo livello
le copie della figura precedente sono M elevato alla D
tutte accorciate per un fattore M.
Chiamo N il numero di copie.
Ho che N = M alla D ... sto solo dando un nuovo nome: "N".
Posso definire D prendendo il log di tutte e due la parti,
così ho che: log N = D per log M (log N=D logN)
usando una legge dei logaritmi già vista.
Poi posso dire che D, la dimensione, è log N diviso log M (D=logN/logM).
D è definita come il log del num di nuove copie, fratto la riduz della lungh dei lati.
ok, controllo che 'sta formula corrisponda alla nostra nozione di "dimensione"
per verificarla per la Dimensione-1,
prendo la versione bi-secante dove M=2.
Cioè divido ogni lato in 2 metà uguali.
allora M=2 ed N, il numero di copie della linea, è 2
se dico D, dimensione, = log2 su log2, bè ottengo 1 (D= log 2/ log 2 = 1 )
Funziona: ci dà la corretta dimensione Dimensione -1
vediamo ora per la versione tri-secante.
Trisecante: M = 3.
Dividiamo ogni lato in 3 parti uguali
Ricordiamo: per una dimensione N, il numero di copie, era 3 (N=3)
Abbiamo D=log3 fratto log3 che è uguale a 1 D=log3/log3 = 1
Ancora,funziona perchè abbiamo ottenuto che la dimensione è 1 (D=1)
La nostra formula è in accordo con ciò che avremmo detto istintivamente
Proviamo con un oggetto a due dimensioni.
Con un oggetto a 2D,se bi-sechiamo, la dimensione è= log4 / log2. Ciò è = 2 (D=log4/log2=2)
puoi controllare sulla calcolatrice.
Per tri-secare, abbiamo che M=3 e N=9
così D = log9 / log3 = 2 . Funziona.
E in generale, per Dimensione-3... bè, puoi provare. Ti giuro che funziona.
Tutto questo è stato costruito per quello che veramente vogliamo fare
: calcolare la dimensione della Curva di Koch.
Se ricordi dalla Curva di Koch,
abbiamo disegnato un segmento poi abbiamo cancellato il terzo di mezzo
e lo abbiamo sostituito con un angolo, con i lati della lunghezza degli altri 2
cioè 1/3 del segmento di partenza
Iteriamo questo più volte, fino ad avere qualcosa che assomiglia a questo.
possiamo continuare quanto ci pare.
Così, per la Curva di Koch, M = 3.
Cioè, ricorda che stiamo riducendo il lato del segmento di un fattore 3.
N, il numero di copie ad ogni livello, è quattro (N = 4).
a ogni livello sostituiamo la figura precedente con 4 copie messe in questa configurazione
In accordo con la definizione, la dimensione della Curva di Koch è
log4 diviso log3, cioè: LogN diviso logM D= log4 / log3 = LogN / logM
se usi la calcolatrice, trovi che D è circa 1.26.
Ma cosa significa esattamente?
Significa che la dimensione di questa curva si avvicina a 1.26.
Cioè, va vicinissimo a 1.26 al nostro iterare in più e più livelli
Ma cosa significa "1.26" ? una dimensione tra 1 e 2 (1 < D < 2)?
Non è facile capirlo con l'intuito,
posso dire che è una misura di come il numero di copie è in scala con la riduzione della misura del segmento
in termini grezzi è una sorta di densità della auto-similarità (self-similarity).
Per le figure geometriche regolari, questa dimensione è un numero intero
ma per i frattali, che hanno una maggiore densità di self-similarity,
la dimensione può essere una frazione.
Per darti un'idea di questo, cito un po' dal mio libro "Complessità: una visita guidata"
dove parlo di cosa significa "dimensione frattale". Cito:
"Sono vari i tentativi di descrizioni intuitive sul significato della dimensione frattale.
Ad es. si dice che la dimensione frattale rappresenta la complicatezza di un oggetto
Il grado di frammentazione dell'oggetto e quanto "densa" è la struttura dell' oggetto
Mi piace la nozione poetica che la dimensione frattale "quantifica la cascata di dettagli" di un oggetto.
Cioè, qualifica quanto dettaglio tu puoi vedere a tutte le scale
quando tu vai giù sempre più profondamente nella infinita cascata della self-similarity
Per strutture che non sono frattali, come un marmo liscio e rotondo
se cominci a guardare alla struttura con ingrandimenti successivi
alla fine c'è un livello senza nessun dettaglio interessante
I frattali d'altra parte hanno dettagli interessanti a ogni livello,
e la dimensione frattale, in un certo senso, quantifica quanto interessante è quel dettaglio
in funzione di quanti ingrandimenti devi fare ad ogni livello per vederlo.
Questa è la descrizione nel mio libro,
e ovviamente questa descrizione di avere dettagli interessanti a tutti i livelli si applica ai
frattali matematici perfetti, ma è approssimata da ciò che in natura noi chiamiamo frattale.