À présent, nous pouvons donner notre définition précise d'une dimension.
Supposons que nous ayons la situation suivante:
C'est-à-dire, nous avons une structure géométrique
créée à partir d'un objet à D-dimensions, comme une ligne, un carré ou un cube,
en divisant à plusieurs reprises
la longueur de ses côtés par un nombre M.
C'est donc ce que nous venons de faire.
Par exemple, quand nous avons bissecté les côtés,
le nombre N était de deux (M=2).
Quand nous avons trissecté les côtés,
le nombre M était trois (M=3), etc.
Voilà notre recette, et à chaque nouveau niveau
nous avons M élevé à la puissance D (M^D) copies
de la figure au niveau précédent,
tous réduits par un facteur de M.
Appelons le nombre de copies N.
Alors nous avons N égal à M exposant D (N=M^D)...
Nommons simplement ceci N.
Maintenant, nous pouvons définir D
en prenant le logarithme des deux côtés,
et nous avons log N égal D fois log M (log N=D log M)
en utilisant la règle de logarithme
que nous avons vue dans la vidéo précédente.
Et nous pouvons dire que D, la dimension,
est égale à log N divisé par log M (D=log N/log M).
C'est-à-dire que la dimension est définie
comme étant le logarithme du nombre de copies obtenues
divisé par le nombre par lequel nous avons réduit la longueur des côtés.
Vérifions que cette formule est en accord
avec notre définition conventionnelle de la dimension.
Pour vérifier cela avec la Dimension-1,
prenons la version avec bissection
où M est égal à deux (M=2).
C'est-à-dire que nous divisons chaque côté en deux moitiés égales,
puis M est égal à deux et N, le nombre de copies de la ligne, est égal à deux,
donc si nous voulons D, la dimension est égale à log 2 divisé par log 2,
nous obtenons un (D=log 2/log 2=1).
Cela fonctionne puisque nous obtenons la dimension correcte, Dimension-1.
Maintenant, voyons la version avec trissection.
Pour trissecter, M est égal à trois (M=3).
Nous avons divisé chaque côté en trois parts égales.
Souvenez-vous, pour une dimension-1,
le nombre de copies est de trois (N=3).
Nous obtenons D égal log trois divisé par log trois,
ce qui est égal à un (D=log 3/log 3=1).
Cela fonctionne à nouveau, puisque nous obtenons la réponse que la dimension est un (D=1).
Notre formule est donc en accord
avec ce que nous considérerions intuitivement comme la réponse correcte.
Vérifions maintenant avec des objets à 2-dimensions.
Pour des objets à deux dimensions,
si nous bissectons,
la dimension est égale à log quatre divisé par log deux.
Ce qui est égal à deux (D=log 4/log 2=2).
Vous pouvez vérifier avec une calculatrice si vous voulez.
Pour trissecter, nous obtenons M égal à trois (M=3)
et N égal à neuf (N=9).
D est alors égal à log neuf divisé par log 3,
ce qui est aussi égal à 2 (D=log 9/log 3=2),
donc cela fonctionne.
Et enfin, pour une Dimension-3...
Bon, je vous laisse vérifier, mais je vous promets que cela fonctionne.
À présent, tout ceci est présenté pour ce que nous voulons vraiment faire,
calculer la dimension de la Courbe de Koch.
Rappelez-vous, pour la Courbe de Koch,
nous dessinons un segment, puis nous effaçons le tiers du milieu,
et nous remplaçons ce tiers du milieu par un angle
dont les côtés sont de la même longueur que les deux autres côtés.
C'est-à-dire, un tiers du segment original dans cette configuration.
Puis nous répétons cela encore et encore,
jusqu'à ce que nous obtenions quelque chose qui ressemble à ceci.
On peut continuer aussi longtemps que l'on veut.
Pour la Courbe de Koch, M est égal à 3 (M=3).
C'est-à-dire, rappelez-vous que nous réduisons le côté des segments par un facteur de trois.
N, le nombre de copies à chaque niveau, est de quatre (N=4).
À chaque niveau, nous remplaçons la figure précédente
par quatre copies disposées dans cette configuration.
Suivant notre définition, la dimension de la Courbe de Koch est égale à
log quatre divisé par log trois,
soit, log N divisé par log M (D=log 4/log 3=log N/log M).
et, si vous utilisez une calculatrice,
vous trouverez approximativement 1.26 (D=1.26).
Mais qu'est-ce que cela signifie exactement?
Cela signifie que la dimension de la courbe s'approche de 1.26.
Elle s'approche de plus en plus près de 1.26
à mesure que nous répétons les sections.
Mais qu'est-ce que 1.26 signifie?
Qu'est-ce qu'une dimension entre un et deux (1 < D < 2) veut vraiment dire?
Ce n'est pas facile à comprendre de manière intuitive,
mais je peux dire que cela mesure
comment le nombre de copies accompagne la diminution de la taille des segments.
En gros, il s'agit de la densité de l'autosimilarité.
Pour les figures géométriques régulières, cette dimension est un entier,
mais pour les fractales, qui peuvent avoir une plus grande densité d'autosimilarité,
la dimension peut être une fraction.
Juste pour vous donner une idée,
je vais citer mon propre livre, "Complexity: A Guided Tour"
où je parle de la signification de la dimension fractale. Je cite:
"J'ai vu de nombreuses tentatives de descriptions intuitives de ce que signifie la dimension fractale.
Par exemple, on a dit que la dimension fractale représente la dureté,
la rugosité, l'irrégularité, ou le niveau de complication d'un objet.
Le degré de fragmentation d'un objet, ou à quel point la structure d'un objet est 'dense'.
Mais j'aime beaucoup la notion presque poétique
selon laquelle la dimension fractale 'quantifie la cascade de détail' d'un objet.
C'est-à-dire, elle correspond au niveau de détail que l'on peut voir à toutes les échelles
tandis que vous plongez toujours plus profond dans une cascade infinie d'autosimilarité.
Pour des structures qui ne sont pas fractales,
telles qu'un marbre rond et doux,
si nous regardons la structure avec un grossissement de plus en plus important
on arrive à un niveau sans plus aucun détail intéressant.
Les fractales, au contraire, ont des détails intéressants à tous les niveaux,
et la dimension fractale, d'une certaine manière, quantifie l'intérêt de ce détail
par une fonction du grossissement nécessaire pour l'y voir à chaque niveau."
C'était donc la description qui se trouve dans mon livre,
et, bien sûr, cette description suivant laquelle
il y a des détails intéressants à tous les niveaux
s'applique aux fractales mathématiques parfaites
mais elle s'approche de ce que l'on appelle fractales dans la nature.