Τώρα μπορούμε να γράψουμε τον ακριβή ορισμό της διάστασης.
Υποθέστε ότι τώρα κάνουμε αυτό που ήδη κάναμε,
δηλαδή δημιουργούμε μια γεωμετρική δομή από ένα δοσμένο
D-διάστατο αντικείμενο, όπως ένα ευθύγραμμο τμήμα, ένα τετράγωνο ή ένας κύβος,
με το να διαιρούμε κάθε φορά το μήκος των πλευρών του με έναν αριθμό Μ.
Άρα αυτό ακριβώς είναι που κάναμε πριν. Για παράδειγμα,
όταν διχοτομούσαμε τις πλευρές, ο αριθμός Μ ήταν 2 (Μ=2). Όταν τριχοτομούσαμε τις πλευρές, ο αριθμός Μ ήταν 3, κ.ο.κ
Οπότε αυτή είναι η συνταγή μας. Και είδαμε ότι
σε κάθε καινούργιο επίπεδο παίρναμε Μ εις την D δύναμη (M^D) αντίγραφα του σχήματος
του προηγούμενου επιπέδου, όλα συρρικνωμένα κατά έναν παράγοντα Μ.
Οπότε ας ονομάσουμε τον αριθμό των αντιγράφων: Ν.
Οk, οπότε έχουμε ότι το Ν είναι ίσο με το Μ στην D (N = M^D).
Απλά μετονομάσαμε αυτό σε Ν. Τώρα μπορούμε να ορίσουμε το D
παίρνοντας το λογάριθμο και των δύο μελών της εξίσωσης, οπότε έχουμε:
o log N ισούται με D επί τον log M (log N = D log M), με χρήση μιας
από τις ιδιότητες των λογαρίθμων που είδαμε στο προηγούμενο βίντεο. Κατόπιν, μπορούμε να πούμε ότι:
το D, η διάσταση, είναι ίση με τον log N δια τον log M (D = log N/log M). Άρα: η διάσταση ορίζεται
ως ο λογάριθμος του αριθμού των αντιγράφων που παίρνουμε, διαιρεμένος με τον αριθμό
με τον οποίο διαιρέσαμε το μήκος κάθε πλευράς.
Οk, ας ελέγξουμε ότι η σχέση αυτή συμφωνεί στ' αλήθεια με την τυπική έννοια της διάστασης.
Για να το ελέγξουμε για τη μία διάσταση, ας πάρουμε την εκδοχή της διχοτόμησης, όπου Μ = 2.
Που σημαίνει ότι διαιρούμε κάθε πλευρά σε δύο ίσα μέρη. Τότε το Μ είναι 2 και το Ν,
ο αριθμός των αντιγράφων του ευθύγραμμου τμήματος, είναι επίσης 2.
Οπότε αν πούμε ότι το D, η διάσταση, είναι ίση με log 2 δια log 2,τότε όντως βρίσκουμε 1 (D = log 2 / log 2 = 1).
Άρα η σχέση "δουλεύει" γιατί μας δίνει τη σωστή διάσταση, ήτοι διάσταση 1.
Τώρα ας το ελέγξουμε για την εκδοχή της τριχοτόμησης.
Για την τριχοτόμηση το Μ=3. Διαιρέσαμε κάθε πλευρά σε τρία ίσα μέρη.
Τώρα θυμηθείτε ότι για τη μία διάσταση το Ν, ο αριθμός των αντιγράφων ήταν τρία (Ν=3).
Άρα παίρνουμε ότι το D ισούται με τον log 3 δια τον log 3, που ισούται με ένα (D= log 3 / log 3 = 1).
Και πάλι η μέθοδος "δουλεύει", γιατί παίρνουμε την απάντηση ότι η διάσταση είναι ένα (D=1).
Άρα η μαθηματική μας σχέση συμφωνεί με αυτό που διαισθητικά θα θεωρούσαμε ως σωστή απάντηση για τη διάσταση.
Ας το ελέγξουμε τώρα για 2-διάστατα αντικείμενα:
Για 2-διάστατα αντικείμενα, αν διχοτομούμε, τότε η διάσταση ισούται με το log 4 διαιρεμένο με το log 2. Αυτό ισούται με δύο (D = log 4 / log 2 =2).
Μπορείτε να το ελέγξετε αυτό στο κομπιουτεράκι σας, αν θέλετε.
Για την τριχοτόμηση παίρνουμε ότι το Μ ισούται με 3 (Μ = 3) και το Ν ισούται με 9 (Ν = 9).
Έτσι η D ισούται με τον log 9 διαιρεμένο με τον log 3, που επίσης ισούται με 2 (D = log 9 / log 3 = 2), οπότε η μέθοδος δουλεύει.
Και τέλος, για τις τρείς διαστάσεις, ... λοιπόν θα αφήσω εσάς να το ελέγξετε αυτό, και σας υπόσχομαι ότι "δουλεύει".
Βέβαια, όλο αυτό δομήθηκε για να φτάσουμε σε αυτό που τελικά θέλουμε να πετύχουμε,
το οποίο είναι να υπολογίσουμε τη διάσταση της Καμπύλης του Koch.
Έτσι, αν θυμάστε από την Καμπύλη του Koch,
χαράζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα, μετά αφαιρούμε το μεσαίο ένα τρίτο του,
κατόπιν αντικαθιστούμε αυτό το μεσαίο ένα τρίτο με μία γωνία, που οι πλευρές της είναι ίδιου μήκους με τις άλλες δύο πλευρές.
Δηλαδή το ένα τρίτο του αρχικού ευθύγραμμου τμήματος, στη μορφή αυτή
Κατόπιν επαναλαμβάνουμε αυτό ξανά και ξανά, μέχρι που καταλήγουμε σε κάτι που μοιάζει με αυτό:
Μπορούμε να συνεχίσουμε το ίδιο όσο θέλουμε.
Άρα, για την καμπύλη του Coch, to M ισούται με 3 (M=3).
Δηλαδή, θυμηθείτε ότι ελαττώνουμε το μήκος των ευθυγράμμων τμημάτων κατά έναν παράγοντα 3.
Το Ν, ο αριθμός των αντιγράφων σε κάθε επίπεδο, είναι τέσσερα (Ν=4).
Σε κάθε επίπεδο, αντικαθιστούμε το σχήμα του προηγούμενου επιπέδου, με τέσσερα αντίγραφα, διατεταγμένα όπως φαίνεται:
Άρα, σύμφωνα με τον ορισμό μας, η διάσταση της Καμπύλης του Koch είναι:
log 4 διαιρεμένο με log 3, δηλαδή log Ν διαιρεμένο με log M (D= log 4 / log 3 = log N / log M),
το οποίο, αν το κάνετε με το κομπιουτεράκι σας, θα βρείτε ότι είναι περίπου 1,26 (D = 1,26).
Αλλά, τι ακριβώς σημαίνει αυτό;
Λοιπόν, κατ' αρχήν, σημαίνει ότι η διάσταση αυτής της καμπύλης προσεγγίζει το 1,26.
Δηλαδή, πλησιάζει όλο και περισσότερο το 1,26 όσο επαναλαμβάνουμε σε περισσότερα και περισσότερα επίπεδα.
Αλλά, ποιο το νόημα του αριθμού 1,26; Τι σημαίνει στα αλήθεια μία διάσταση που είναι μεταξύ του 1 και του 2 (1< D < 2);
Λοιπόν, αυτό δεν είναι εύκολο να γίνει κατανοητό διαισθητικά,
αλλά μπορώ να πω ότι είναι ένα μέτρο του πώς ο αριθμός των αντιγράφων του σχήματος κλιμακώνεται με την ελάττωση του μήκους των ευθυγράμμων τμημάτων.
Πολύ αδρά, είναι ένα είδος "πυκνότητας της αυτο-ομοιότητας".
Για τυπικά γεωμετρικά σχήματα, η διάσταση αυτή είναι ένας ακέραιος,
αλλά για τα fractals, που έχουν πιθανόν μία μεγαλύτερη πυκνότητα αυτο-ομοιότητας,
η διάσταση μπορεί να είναι δεκαδικός αριθμός.
Έτσι, απλά για να σας δώσω μία αίσθηση αυτού, επιτρέψτε μου να χρησιμοποιήσω μια φράση από το βιβλίο μου: "Πολυπλοκότητα: Μία Περιήγηση με Οδηγό",
όπου μιλάω για το τι σημαίνει η fractal διάσταση. Έτσι, λέω:
"Έχω δει πολλές απόπειρες διαισθητικής περιγραφής του τι σημαίνει η fractal διάσταση.
Για παράδειγμα, έχει ειπωθεί ότι η fractal διάσταση αναπαριστά τo πόσο τραχύ, πόσο ανώμαλο, πόσο οδοντωτό ή πόσο περίπλοκο είναι ένα αντικειμένο.
Ή ακόμη αναπαριστά, το βαθμό κατακερματισμού ενός αντικειμένου, ή το πόσο "πυκνή" είναι η δομή του.
Αλλά μία περιγραφή που μου αρέσει πολύ, είναι η κάπως ποιητική έννοια, ότι η fractal διάσταση ¨ποσοτικοποιεί την προς τα κάτω διάχυση της λεπτομέρειας" ενός αντικειμένου.
Ποσοτικοποιεί δηλαδή το πόση λεπτομέρεια μπορείς να δεις σε όλες τις κλίμακες,
όσο βουτάς ολοένα και βαθύτερα μέσα στην άπειρη διάχυση προς τα κάτω της αυτο-ομοιότητας.
Για δομές που δεν είναι fractals, όπως π.χ. ένα λείος, στρογγυλός βόλος,
εάν κοιτάς τη δομή του με διαρκώς αυξανόμενη μεγέθυνση,
τελικά υπάρχει ένα επίπεδο που δε συναντάς πια ενδιαφέρουσες λεπτομέρειες,
Τα fractals, από την άλλη, έχουν ενδιαφέρουσες λεπτομέρειες σε όλα τα επίπεδα,
και η fractal διάσταση, κατά μία έννοια, ποσοτικοποιεί το πόσο ενδιαφέρουσα είναι αυτή η λεπτομέρεια,
σαν συνάρτηση του πόση μεγέθυνση πρέπει κανείς να κάνει, σε κάθε επίπεδο, για να το δει αυτό."
Έτσι, αυτή ήταν η περιγραφή από το βιβλίο μου,
και, φυσικά, αυτή η περιγραφή του ότι έχουμε ενδιαφέρουσα λεπτομέρεια σε όλα τα επίπεδα, εφαρμόζεται στα ιδανικά μαθηματικά fractals,
αλλά ισχύει μόνο κατά προσέγγιση σε αυτά που λέμε fractals στη Φύση.