Jetzt können wir eine Präzise Definition für Dimension aufschreiben.
Angenommen wir machen das folgende:
Wir kreieren eine geometrische Form aus einem D-Dimensionalem Objekt (z.B. Linie, Quadrat, oder Würfel)
in dem wir wiederholt die Seitenlänge durch die Zahl M teilen.
Also im Prinzip dieselbe Prozedur wie vorhin.
Zum Beispiel, beim halbieren der Seiten glich M zwei (M=2).
Beim zerteilen in drei Teile glich M drei.
Anhand dieses Verfahrens sahen wir dass jede Ebene aus
M hoch D (M^D) Kopien der Form aus der vorherigen Ebene besteht,
wobei diese Kopien um ein Faktor M kleiner sind.
Lasst uns die Anzahl der Kopien durch N kennzeichnen.
OK, also N ist bloß ein spezifischer Name für M hoch D (N = M^D).
Wir können D definieren in dem wir jetzt den Logarithmus ableiten,
hier haben wir also log N gleich D mal log M (log N = D log M),
wo wir Gebrauch von einem der Logarithmus Regeln gemacht haben.
Dann können wir sagen dass D (Dimension), gleich log N über log M ist (D = log N/log M).
D.h., Dimension definiert sich durch den Logarithmus der Kopien Anzahl geteilt durch log M.
OK, stimmt diese Formel mit unserem Standard Konzept der Dimension über ein?
Um es für 1D zu prüfen,
nehmen wir den Fall M gleich zwei (M=2).
D.h., wir halbieren die Seiten,
dann gleicht M zwei, und die Anzahl der Kopien (N) gleicht zwei,
also wenn D gleich log zwei über log zwei ist, dann bekommen wir die eins (D = log2/log2 = 1).
Das funktioniert denn 1D ist korrekt.
Jetzt also, dasselbe Spiel mit dreierlei Zerteilung.
In diesem Fall M = 3.
Wir machen drei teile aus den Seiten.
Zur Bemerkung,
Für 1D ist die Anzahl der Kopien 3 (N = 3).
Folgend, ist D gleich log 3 geteilt durch log 3, also eins.
Das hat also funktioniert da wir es mit einem 1D Objekt zu tun haben.
Unsere Formel stimmt also mit unserer Intuition für die Korrekte Antwort überein.
Versuchen wir es für ein 2D Objekt. Wenn wir die Seiten
eines 2D Objektes halbieren ist die Antwort D = log 4/log 2, also 2.
Ihr könnt das prüfen wenn ihr wollt.
Die dreifach Zerteilung ergibt M ist gleich 3 und N = 9.
Also ist D gleich log 9 geteilt durch log 3, was wiederum D = 2 ergibt, das stimmt also.
Zum Schluss, dieselbe Übung für 3D...ich überlasse das euch, doch ich versichere dass es funktioniert.
Diese ganzen Übungen waren für einen bestimmten Zweck,
nämlich die Dimension der Koch Kurve zu berechnen.
Zur Erinnerung, mit der Koch Kurve zeichnen wir
ein Linien-Segment, streichen ein drittel davon in der Mitte, und ersetzten
es mit einem Winkel dessen Seiten die gleiche Länge haben wie die anderen zwei.
D.h., ein-drittel der Original Form.
Nach vielen Iterationen bildet sich eine Form wie diese.
Man könnte immer so weiter machen.
Für die Koch Kurve also ist M gleich drei.
D.h., wir reduzieren die Seitenlängen der Segmente um ein Faktor drei.
N, die Anzahl der Kopien auf jeder Ebene, ist gleich vier.
Auf jeder Ebene ersetzten wir die vorherige Form mit 4 Kopien in dieser Konfiguration.
Gemäß unserer Definition ist die Dimension der Koch Kurve
log 4 geteilt durch log 3, d.h., log N geteilt durch log M (D = log 4/log 3).
Diese Berechnung ergibt ungefähr 1.26 (D = 1.26).
Aber was bedeutet das genau?
Zum einen bedeutet es dass die Dimension der Kurve ungefähr 1.26 ist.
D.h., die Dimension Konvergiert auf 1.26 zu je mehr Iterationen wir durchführen.
Aber was bedeutet eigentlich eine Dimension von 1.26, etwas zwischen ein und zwei?
Naja, intuitiv ist das nicht einfach nachzuvollziehen, es ist ein Indikator
dafür wie die Zahl der Kopien ansteigt während die Segmente kleiner werden.
Grob genommen, ist es die Dichte der Selbst-Ähnlichkeit.
Für typische geometrische Formen ist diese Dichte eine ganze Zahl,
aber für Fraktale, die möglicherweise eine höhere Dichte haben,
kann sie fraktioniert sein.
Um ein besseres Verständnis zu vermitteln zitiere ich von meinem Buch "Complexity: A Guided Tour"
wo ich darüber schreibe was fraktionierte Dimension bedeutet. Ich zitiere:
"Ich kenne viele Versuche fraktionierte Dimension intuitiv zu erfassen.
z. B., dass fraktionierte Dimension die Rauheit, Grobheit, oder Kompliziertheit eines Objektes.
Die Fragmentierung eines Objektes, oder wie dicht die Struktur ist.
Eine Beschreibung die ich mag ist das fast poetische Bild dass es die Kaskade der Details eines Objektes quantifiziert.
D.h., es besagt wie viel Detail man auf allen Maßstäben wahrnehmen kann
während man tiefer in die unendliche Kaskade der Selbst-Ähnlichkeit einblickt.
Für Objekte die keine Fraktale sind (z.B., eine glatte, runde Kugel),
gewährt ein immer tieferer Einblick
schließlich keine interessanten Details mehr.
Im Gegensatz, haben Fraktale interessante Details auf allen Ebenen,
und die fraktionierte Dimension quantifiziert, in gewisser weise, wie interessant diese Details
im Verhältnis zu der Magnifikation der Ebene."
Das war also die Beschreibung aus meinem Buch.
Diese Beschreibung von unendlichen Ebenen der Details trifft streng genommen auf Mathematische Fraktale zu,
doch Fraktale in der Natur entsprechen dieser Beschreibung annähernd.