Όταν γράφουμε "ο λογάριθμος με βάση το 10 ενός αριθμού x ισούται με..."
αυτό που εννοούμε είναι ότι: " το 10 υψωμένο στην ..... (δύναμη αυτή), δίνει τον αριθμό x."
Έτσι, για παράδειγμα, εάν θέλουμε το λογάριθμο του 10 με βάση το 10,
αυτός ισούται με 1, γιατί 10 στην 1η κάνει 10.
Όμοια, ο λογάριθμος με βάση 10 του 100 είναι το 2, γιατί το 10 στη 2α κάνει 100.
Ο λογάριθμος με βάση 10 του 1000 είναι 3, γιατί 10 εις την 3η κάνει 1000.
Και ο λογάριθμος με βάση 10 του, φερ' ειπείν, 10 στην 4η είναι ίσος με 4
γιατί το 10 υψωμένο σε αυτόν τον αριθμό κάνει 10 στην 4η! Ουφ!
Μπορούμε επίσης να γράψουμε το λογάριθμο με βάση το 10, οποιουδήποτε αριθμού, όπως το λογάριθμο με βάση 10 του 3,
που είναι ίσος με 0,47712 και ακολουθούν και άλλα δεκαδικά ψηφία.
Αυτό συμβαίνει γιατί το 10 υψωμένο στην 0,47712 ισούται με 3.
Μπορείτε να το ελέγξετε αυτό στο κομπιουτεράκι σας.
Μπορούμε επίσης να γράψουμε λογαρίθμους με διαφορετικές βάσεις, όπως π.χ. ο λογάριθμος με βάση το 2.
Για παράδειγμα, ο λογάριθμος, με βάση 2 του 2 είναι το 1
γιατί 2 υψωμένο στην 1η κάνει 2.
Ο λογάριθμος με βάση 2 του 4 είναι 2
γιατί 2 υψωμένο στη 2α κάνει 4.
Ο λογάριθμος με βάση 2 του 8 είναι 3 για τον ίδιο λόγο,
...και ούτω καθεξής.
Μπορούμε επίσης να γράψουμε και τον λογάριθμο ενός κλασματικού αριθμού:
Έτσι ο λογάριθμος με βάση 10 του 1/10 ισούται με -1
γιατί 10 εις την -1 κάνει, εξ΄ ορισμού 1/10.
Ο λογάριθμος με βάση 10 του 1/100 είναι μείον 2
...γιατί 10 εις την -2 κάνει 1/100
Ο λογάριθμος με βάση 2 του 1/4 είναι πάλι -2..
γιατί 2 εις την -2 κάνει 1/4
Ο λογάριθμος με βάση 2 του 1/8 είναι -3, κλπ
Γενικά χρησιμοποιούμε τους εξής συμβολισμούς: γράφουμε απλώς
log, χωρίς να αναφέρουμε τη βάση, όταν εννοούμε το λογάριθμο με βάση το 10.
Όταν γράφουμε "ln", που ονομάζεται "φυσικός λογάριθμος", εννοούμε το λογάριθμο με βάση το "e".
Εάν δεν ξέρετε τι είναι το "e", μη σας απασχολεί προς το παρόν.
Όταν έχουμε κάποια άλλη βάση λογαρίθμων (εκτός του 10 και του e), δηλώνουμε τη βάση αυτή σαν δείκτη στη λέξη "log".
Έτσι log με δείκτη 2 σημαίνει λογάριθμος με βάση το 2 ή πιο γενικά Log με δείκτη "α "σημαίνει το λογάριθμο με βάση το α
Ιδού και μερικές χρήσιμες ιδιότητες των λογαρίθμων:
Eάν θέλουμε το λογάριθμο με βάση 10 του 10 υψωμένου σε μία δύναμη m, αυτός είναι πάντα ίσος με m.
Kαι, γενικότερα, ο λογάριθμος με βάση το α, όποιο κι αν είναι το α, ενός αριθμού x υψωμένου εις την b
είναι πάντοτε ο b επί τον λογάριθμο του x με βάση α.
Άρα μπορείτε πάντοτε να φέρετε τον εκθέτη ενός αριθμού του οποίου ζητάτε το λογάριθμο, έξω από το λογάριθμο....
Συνεπώς είναι μία γενική ιδιότητα: μπορείτε εύκολα να αποδείξετε ότι ισχύει.
Δεν θα το κάνω εδώ αυτό: θα το αφήσω σαν Άσκηση για εσάς.
Τώρα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το λογάριθμο ενός αριθμού ως προς μία άλλη βάση, κι όχι το 10.
.... όπως π.χ. το λογάριθμο με βάση το 2 ενός αριθμού, αλλά έχουμε μόνο λογαρίθμους με βάση το 10 στον υπολογιστή τσέπης μας,
μιας και οι τυπικές αριθμομηχανές υπολογίζουν μόνο λογαρίθμους με βάση 10
ή το πολύ και λογαρίθμους με βάση e, δηλ. φυσικούς λογαρίθμους. Τότε μπορείτε πάντοτε να χρησιμοποιήσετε τη σχέση αυτή:
Ο λογάριθμος με βάση 2 κάποιου αριθμού x είναι ίσος με το πηλίκο του λογαρίθμου με βάση 10
του αριθμού αυτού, δια το λογάριθμο με βάση 10 του 2.
Άρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το κομπιουτεράκι σας για να υπολογίσετε το λογάριθμο με βάση 2 του x.
Και, γενικότερα, για κάθε βάση α, ο λογάριθμος με βάση α ενός αριθμού x ειναι ίσος με το λογάριθμο με βάση b - ή και με οποιαδήποτε άλλη βάση - του x ....
διαιρεμένον με το λογάριθμο με βάση b του α.....
Αυτός είναι ένας γενικός τύπος, και μπορείτε επίσης να αποδείξετε ότι ισχύει...
Δεν θα το κάνω ούτε αυτό εδώ, αλλά θα χρησιμοποιήσουμε αυτή τη σχέση για να υπολογίζουμε λογαρίθμους στο κομπιουτεράκι μας.
Τώρα μπορείτε να απαντήσετε σε ένα απλό κουίζ για να ελέγξετε το κατά ποσο κατανοήσατε τα όσα μόλις κάναμε.