Nel video precedente abbiamo creato questo schema
bisecando ciascun lato. Ma
cosa sarebbe successo se, ad esempio, avessimo trisecato ogni lato? Possiamo ottenere uno schema molto simile.
Quindi trisechiamo la linea tagliandola in tre parti uguali
e poi tagliando ciascuna di queste parti in tre parti uguali
eccetera. Vediamo che
ciascun livello è formato da
tre copie di dimensione un terzo del livello precedente.
Possiamo trisecare il quadrato e per ciascun livello otteniamo
nove copie di dimensione un nono del livello precedente.
E possiamo trisecare il cubo, tagliando ciascun lato
in tre parti uguali e, per il cubo, ciascun livello è composto da ventisette
copie di dimensione un ventisettesimo del livello precedente.
Penso che si possa vedere lo schema generale, quindi in generale
invece di bisecare o trisecare
possiamo "M-secare", possiamo cioè dividere
ogni lato in M parti della stessa dimensione. Quindi in dimensione uno
ogni livello è fatto di M copie di dimensione 1 fratto M.
In dimensione due otteniamo che ciascun livello è composto
da M al quadrato copie di dimensione uno fratto M al quadrato.
Similmente in dimensione tre abbiamo M al cubo
copie di dimensione uno fratto M al cubo, e possiamo
continuare. Alla fine possiamo scrivere un'affermazione generale
come la seguente: in dimensione D
ciascun livello è composta da M elevato alla potenza D-esima
di copie aventi dimensione uno fratto M alla potenza D-esima rispetto al precedente
livello.
Questa è la nostra definizione
di dimensione: questa è un'ottima definizione di dimensione.
OK. Spero che questo non stia diventando troppo astratto per voi
ma ora possiamo usare tutto ciò per creare una definizione matematica di dimensione.
Un avvertimento: la prossima parte contiene un po' di matematica.
In particolare contiene alcuni logaritmi, quindi se non
siete pratici con i logaritmi come forse lo eravate una volta
o se volete fare un ripasso, potete guardare il prossimo video
che è un piccolo ripasso dei logaritmi. Altrimenti,
se vi sentite a posto con i logaritmi, potete saltare al video
seguente.