Στο προηγούμενο βίντεο δημιουργήσαμε αυτό το μοτίβο με το να διχοτομούμε κάθε πλευρά.
Αλλά τι θα συμβεί αν, ας πούμε, "τριχοτομήσουμε" κάθε πλευρά;
Μπορούμε να έχουμε ένα πολύ παρόμοιο μοτίβο.
Έτσι τριχοτομούμε τη γραμμή, κόβοντάς την σε τρία ίσα μέρη
και μετά κόβουμε με τη σειρά του κάθε ένα από αυτά σε τρία ίσα μέρη κ.ο.κ.
Βλέπουμε ότι κάθε επίπεδο είναι φτιαγμένο από
τρία ίσα ευθύγραμμα τμήματα
με μήκος το ένα τρίτο από αυτό του προηγούμενου επιπέδου.
Μπορούμε να "τριχοτομήσουμε" το τετράγωνο και σε κάθε επίπεδο παίρνουμε
9 αντίγραφα του σχήματος,με μέγεθος 1/9 του μεγέθους του προηγούμενου επιπέδου
Και τέλος μπορούμε να "τριχοτομήσουμε" τον κύβο, με το να κόψουμε κάθε ακμή του
σε τρία ίσα μέρη και, για τον κύβο, κάθε επίπεδο αποτελείται από 27 ίδια τμήματα
με μέγεθος το 1/27 των τμημάτων του προηγούμενου επιπέδου.
Νομίζω ότι μπορείτε να δείτε το γενικό μοτίβο, άρα γενικότερα
αντί να διχοτομούμε ή να τριχοτομούμε,
μπορούμε να "m-τομούμε", δηλαδή να διαιρούμε
κάθε ακμή σε Μ τμήματα ίσου μήκους. Έτσι, στη μία διάσταση,
κάθε γραμμή απαρτίζεται από Μ αντίγραφα μήκους 1/Μ το καθένα,
στις 2 διαστάσεις κάθε επίπεδο αποτελείται
από Μ εις το τετράγωνο αντίγραφα, το καθένα εμβαδού 1/Μ στη 2α
και, παρόμοια, στις τρεις διαστάσεις, παίρνουμε Μ εις στον κύβο
αντίγραφα, όγκου 1/Μ στον κύβο το καθένα και μπορούμε έτσι να
συνεχίσουμε, ώστε τελικά να γράψουμε μια συνολική δήλωση
που λέει ότι: στην διάσταση d
κάθε επίπεδο επανάληψης αποτελείται από πλήθος Μ εις την d, αντίγραφα του σχήματος του προηγούμενου επιπέδου
που το καθένα έχει μέγεθος 1/M υψωμένο στην d, σε σχέση
με αυτό του προηγούμενου επιπέδου.
Αυτός είναι ο ορισμός που δίνουμε στη διάσταση d:
είναι ένας πολύ καλος ορισμός της διάστασης.
ΟK. Ελπίζω να μην είναι πλέον όλα αυτά πολύ αφηρημένα για σας.
Όμως τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε όλα αυτά για να φτιάξουμε έναν μαθηματικό ορισμό της διάστασης.
Μια προειδοποίηση όμως: το κομμάτι που ακολουθεί περιέχει λίγα Μαθηματικά.
Για την ακρίβεια, περιέχει λίγα πράγματα από λογαρίθμους, οπότε αν
δεν είστε πια τόσο άνετοι με τους λογάριθμους όπως ήσασταν κάποτε
ή αν θέλετε να τους κάνετε μια επανάληψη, μπορείτε να δείτε το επόμενο στη σειρά βίντεο,
που αποτελεί μια μικρή επανάληψη των λογαρίθμων. Αλλιώς,
αν αισθάνεστε πολύ άνετα με τους λογαρίθμους, μπορείτε να πάτε
κατευθείαν στο μεθεπόμενο βίντεο.