Для понимания фракталов важно понятие фрактальной размерности.
Мы все помним со школы, что линии одномерны,
квадраты и круги двухмерны,
а кубы и сферы трёхмерны.
Зачастую эти идеальные геометрические объекты используют для
моделирования аспектов природного мира.
Однако, как известно сказал Бенуа Мандельброт,
"Облака не сферы, горы не конусы, береговые линии не круглые,
кора деревьев не гладкая, а молния не прямолинейна."
Мандельброт предположил, что фракталы гораздо лучше подходят для описания
природы, нежели более традиционные геометрические объекты, и хотел создать
новую, фрактальную геометрию для исследования окружающего мира.
Чтобы понять такую геометрию, нужно изучить понятие размерности.
Рассмотрим, что же именно означает измерение.
Обычное понятие измерения - протяжённость объекта в определённом направлении.
Например, линия одномерна. Она рас- пространяется в одномерном пространстве.
Квадрат двухмерен. В пространстве он распространяется в двух направлениях.
А куб трёхмерный, с тремя направлениями распространения.
Но что делать с такими штуками, как кривая Коха?
Ну, она состоит из прямых линий.
Можно думать о ней как о чём-то вроде бы одномерном.
Попробуйте мысленно её растянуть.
Но возникает проблема: ведь чем больше у кривой уровней, тем она длиннее, и
когда уровень стремится к бесконечности, длина кривой также будет бесконечной.
И все эти крошечные изгибы и впячивания делают вроде как бы одномерную кривую
частично двухмерной.
Я объясню.
Кажется странным, что что-то может иметь дробную размерность.
Но если подумать о значении понятия измерения, всё становится на свои места.
Давайте посмотрим на измерение с более математической точки зрения.
Вот один из способов описания измерения:
Представьте, что вы последовательно разрезаете стороны линий, квадратов,
кубов и т.д. пополам.
Берём линию - вот она. Стрелкой отмечен следующий шаг - разрезать пополам.
Разрезаем на две равные части.
Теперь итеративно повторяем наши действия.
Берём этот фрагмент, режем его пополам,
берём этот фрагмент, режем пополам, и т.д.
То же самое можно делать с квадратом.
Берём вот эту и эту стороны, разрезаем пополам - получаем 4 под-квадрата.
Повторяем действия: берём стороны, ражем пополам, и получаем
ещё 4 под-под-квадрата из каждого под-квадрата, и т.д.
Можно продолжать так и дальше.
Вот наш куб, линии которого мы поделили пополам, пополам, пополам -
то же самое здесь, cверху.
Очевидна итерация-- построение фрактала.
Сейчас мы можем начать считать.
Наша линия относится к одномерным объектам.
Когда мы постепенно разрезали линию, было видно, что
каждый уровень состоял из 2-ух копий предыдущего уровня, укороченных в 2 раза.
Например, вот этот уровень состоит из 2 копий предыдущего.
Обе линии - половинки.
Точно так же, каждая из вот этих линий - половинка относительно этих, и их 2 копии.
Если рассматривать квадрат, видно, что каждый уровень состоит из 4-ёх копий
предыдущего уровня, уменьшеннных в 4 раза.
Возьмём вот это за начальный уровень - и мы имеем одну, две, три, четыре копии.
Четыре новых квадрата, и каждый из них - четверть оригинала.
Проделываем то же самое здесь. На каждый из этих исходных квадратов приходится
по четыре копии-четвертинки.
И так далее. Очевидно, что для трёхмерных объектов, каждый уровень будет состоять из
8-ми копий исходного уровня, укороченных в 8 раз.
Можете попробовать сделать подобное с четырёхмерным кубом.
Хотя это будет довольно сложно.
В этом случае, гиперкуб состоял бы из
16-ти копий предыдущего уровня, уменьшенных в 16 раз.
Итак, теперь очередь за вами.
Предположим, перед нами 24-мерный куб. Из чего состоит каждый уровень?
Это будет вашим заданием.