Para comprender los fractales es importante entender el concepto de dimensión fractal.
Todos recordamos de las matemáticas del colegio que la líneas son unidimensionales
los cuadrados y círculos son bidimensionales, y
los cubos y esferas son tridimensionales.
A menudo, los matemáticos y científicos emplean este tipo de objetos geométricos perfectos en sus modelos del mundo natural
sin embargo, Benoit Mandelbrot dijo:
"Las nubes no son esferas, ni las montañas conos; las líneas de costa no son círculos, las cortezas no son lisas
y no viajan los relámpagos en línea recta."
Mandelbrot propuso que los fractales eran un modelo del mundo natural mucho mejor que los conceptos geométricos convencionales
e intentó desarrollar una nueva geometría fractal para describir el mundo natural.
Para desarrollar esta nueva geometría, necesitamos repasar nuestro concepto de dimesionalidad.
Veamos a qué nos referimos exactamente cuando hablamos de dimensión.
Nuestra idea habitual de dimensión es la extensión de un objeto en una determinada dirección.
Por ejemplo, una línea es unidimensional. Se extiende en un espacio unidimensional.
Un cuadrado es bidimensional. Se extiende en dos direcciones.
Y un cubo es tridimensional, extendiendose en tres direcciones.
¿Dónde situaríamos algo como La Curva de Koch?
Está formada por líneas rectas,
así que puedes pensar que es más o menos unidimensional.
Imagina que se extiende,
el problema es que sabes que, cuantos más niveles desciendas al construirla más larga es
conforme desciendes hasta un número infinito de niveles, su longitud se vuelve infinita.
Así, todos estos baches y valles se sitúan en algún lugar entre la uni y la bidimesnionalidad.
Te mostraré por qué es así,
resulta extraño pensar que algo pueda tener una dimensión fraccionada
pero si piensas detenidamente qué entendemos por dimensión, verás que tiene sentido.
Pensemos en dimensión de una forma más matemática
vamos a ver una manera de caracterizar la dimensión.
Observa lo que ocurre cuando biseccionas -cortas en dos mitades iguales- los lados de líneas, cuadrados, cubos...
Toma una línea -esta línea de aquí. Mi próximo paso -indicado por esta flecha- será cortarla por la mitad
De manera que corto la línea en dos partes iguales
y luego hago lo mismo en un proceso iterativo.
Cojo esta sublínea, la corto en dos partes iguales, y
cojo esta sublínea y la corto en dos partes iguales y así sucesivamente.
Puedo hacer lo mismo con el cuadrado
puedo tomar este lado y este otro lado, cortarlos en dos mitades iguales, y obtengo cuatro subcuadrados,
hago lo mismo y bisecciono cada uno de los lados y obtengo
otros cuatro subcuadrados a partir del subcuadrado original,y así sucesivamente.
Puedo seguir haciendo esto
Aquí está mi cubo, del que he biseccionado cada línea, y la he biseccionado, lo mismo aquí.
Puedes ver que se trata de una iteración -una forma de construir un fractal, si lo prefieres.
Ahora podemos empezar a contar, y
vemos que, para nuestra línea, un objeto unidimensional
Cuando biseciconamos la línea a cada nivel, vimos que
cada nivel estaba formado por 2 copias de tamaño 1/2 con respecto el nivel anterior.
Por ejemplo, este nivel de aquí está compuesto por dos copias del nivel anterior
ambas líneas tienen un tamaño que es la mitad.
De igual forma, cada una de estas es 1/2 del tamaño de estas de aquí, y hay dos copias.
Bien, si miramos el cuadrado, vemos que cada nivel está compuesto por 4 copias de tamaño 1/4 respecto del nivel anterior
Tomemos el nivel original, aquí tenemos 1, 2, 3, 4 copias
Cuatro nuevos cuadrados, cada uno de los cuales es 1/4 del tamaño del original.
Hacemos lo mismo aquí. Por cada uno de los cuadrados originales tenemos 4 copias, cada una de ellas es 1/4 del tamaño del original
y así sucesivamente. Podemos ver, para la Dimesión-3, que cada nivel está formado por 8 copias de tamaño 1/8 respecto del nivel anterior
Puedos intentar esto mismo con un cubo tetradimensional.
En realidad, puede ser un poco difícil.
Puedes ver un patrón aquí, y te diré que cada nivel de un cubo tetradimensional -o hipercubo-
está formado por 16 copias de un tamaño 1/16 respecto del nivel anterior.
Bien, ahora es tu turno.
Supón que tenemos un cubo 20-dimensional. ¿Por qué está formado cada nivel?
Esa es la pregunta del examen.