Давайте разберёмся во всём этом на конкретном примере.
Для упрощения, примем длину нашего начального сегмента за один метр.
Теперь обратимся к таблице, которая использует нашу формулу длины кривой Коха.
То есть четыре в степени номера уровня, делённое на три в степени номера уровня...
...и всё это умноженное на единицу: (4^N/3^N)*1.
Единица - это один метр, вот он.
Видно, что с повышением уровня длина кривой Коха возрастает.
Почему же?
Всё дело в том, что каждый раз мы делим длины сегментов на три,
а количество сегментов умножаем на четыре.
Поэтому количество сегментов увеличивается быстрее, чем уменьшается их длина.
Таким образом, к 100-ому уровню длина сегментов становится крайне маленькой,
-порядка десяти в минус сорок восьмой- 10^(-48)
(это сорок восемь нулей после запятой) 0,0000000000...000000000000000000001
но их количество возрастает астроно- мически до десяти в шестидесятой (10^60).
В результате, общая длина кривой достигает 3.1 триллиона метра.
Для наглядности, длина кривой Коха при уровне 100 равна
трём миллиардам километров (3 х 10^9 км) или двум миллиардам миль.
Поразительно!
Задумайтесь на минутку.
Благодаря крошечным впячиваниям (подобно береговым линиям, которые мы видели ранее)
кривая Коха, по размеру сопоставимая с метровой линейкой,
способна вместить в себе огромную дистанцию.
Это не сотый уровень; в любом случае мельчайших впячиваний мы бы не заметили.
Но при сотом уровне, кривая сжимала бы около двух миллиардов миль в одном метре.
Феноменально!
Разумеется, такого экстремального сжатия
не наблюдается в природных фракталах,
но это объясняет высокую распространённость фракталов в природе.
Это крайне эффективный способ сжатия огромного количества материи,
будь то ветви деревьев, или цветочки брокколи, или горный ландшафт,
в малый объём пространства.
По этой причине кривую Коха называют "заполняющей пространство".
Существует множество других примеров подобных "заполняющих" природных структур:
вены, артерии и капилляры,составляющие сердечно-сосудистую систему теплокровных;
корни растений, растущих в почве;
структуры головного мозга.
Во всех этих примерах фракталоподобная геометрия используется
для оптимизации количества вещества, сжимаемого в небольшое пространство.
Мы поговорим об этом подробнее в главе о масштабировании.