Mettiamo tutto ciò in prospettiva passando ad un esempio numerico.
Per semplificare le cose, poniamo che la lunghezza del segmento iniziale sia pari ad un metro.
Possiamo consultare una tabella che utilizzi la nostra formula per la lunghezza della curva.
Cioè, quattro elevato al numero del livello, diviso per tre elevato al numero del livello, moltiplicato per uno (4^N/3^N)*1.
In questo caso equivale ad un metro (1 m).
Si vede che al crescere del livello cresce anche la lunghezza della curva.
Perché accade?
La ragione è che ogni volta dividiamo la lunghezza del segmento per tre,
ma moltiplichiamo il numero di segmenti per quattro,
quindi il numero di segmenti cresce più velocemente di quanto la lunghezza del segmento decresca.
A livello 100, la lunghezza del segmento è estremamente piccola,
nell'ordine di dieci elevato alla meno quarantotto (10^(-48)),
cioè un numero decimale composto da 48 zeri prima che si arrivi ad una cifra che non sia zero,
mentre il numero di segmenti è cresciuto astronomicamente nell'ordine di dieci elevato alla sessanta (10^60).
Dunque la lunghezza della curva è pari a 3,1 trilioni [= mila miliardi] di metri.
In termini più familiari, questo significa che a livello 100 la curva è lunga
tre miliardi di chilometri (3 x 10^9 km) o due miliardi (2 x 10^9) di miglia.
Questo è semplicemente fantastico.
Pensate un minuto a cosa significhi.
Questo significa che anche se abbiamo che l'intera curva sta nel nostro righello lungo un metro,
attraverso queste piccoli angoli e fessure, come abbiamo visto per la costa, è capace di concentrarsi
un'enorme quantità di distanza.
Questo non è il livello 100 -- non potremmo vedere i piccoli angoli e le fessure.
Ma a livello 100, la curva sarebbe capace di concentrare circa due miliardi di miglia in questa curva lunga un metro.
Questo è semplicemente sorprendente.
Ovviamente, nelle strutture frattali in natura non vediamo questi livelli di concentrazione,
ma questo ci suggerisce il perché la natura preferisca le strutture frattali:
sono un modo estremamente efficiente di concentrare grandi quantità di materiale
-- siano esse rami di alberi, inflorescenze di broccoli o paesaggi montani --
in piccole porzioni di spazio.
Ecco perché questa curva è di quelle dette "riempi spazio".
In natura ci sono molti altri esempi di strutture riempi-spazio, come
le vene, le arterie e i capillari che compongono il sistema di trasporto del sangue nel corpo;
le radici delle piante che crescono nel terreno; e
le strutture del cervello.
In tutti questi esempi viene utilizzata una sorta di geometria frattale
per ottimizzare la quantità di materiale che può essere concentrata in una piccola porzione di spazio.
Sentiremo di più su questo nell'unità relativa all'ingrandimento.