Voyons tout cela en perspective chiffrée
Pour faire simple, posons que notre segment initial a une longueur de 1 mètre.
Puis regardons un tableau appliquant la formule de calcul de la longueur de la courbe.
Soit 4 porté à la puissance de l'étape N, divisé par 3 puissance N, fois 1 ( 4^N / 3^N ) * 1....
...en référence au 1 mètre du segment ici
Constatez qu'en augmentant les étapes, la longueur de la courbe augmente aussi.
Pourquoi ?
Eh bien, en divisant à chaque étape notre segment par 3
nous le multiplions, dans le même temps, par 4,
ainsi le nombre de segments augmente plus vite que ne se réduit la longueur de segment.
Soit, à l'étape 100, alors que nous avons un segment réduit à l'extrême,
réduction d'ordre 10 puissance -48,
(un décimal ayant 48 zéros après son 1er chiffre non-nul)
mais le nombre de segment s'est accru astronomiquement, de l'ordre de 10 puissance 60.
Soit une longueur de courbe de 3100 miliards de mètres.
En termes simples, cela signifie qu'à la 100e étape, la courbe mesure
3 milliards de kilomètres (3 x 10^9 km) ou 2 milliards de miles.
Absolument renversant.
Une minute de réflexion s'impose.
Cela signifie que bien que la longueur de la courbe tient en totalité dans 1 mètre,
sa bordure peut se replier, en petits coins et recoins, telle une côte maritime,
sur une distance énorme.
Nous n'en sommes pas à la 100e étape, nous ne pourrions absolument pas distinguer les minuscules replis.
Mais à la 100e étape, la courbe pourrait entortiller environ 2 milliards de miles, sur une courbe étalée sur seulement un mètre.
C'est tout simplement stupéfiant.
Bien entendu, les structures fractales naturelles ne donnent de chiffres de cette ordre,
mais partant de ces observations, nous commençons à comprendre pourquoi la nature préfère la structures fractales.
C'est une manière extrêmement efficace d'emmagasiner en replis une quantité énorme de matière,
-- que ce soit en branches d'arbres, en fleurs de broccoli ou en reliefs montagneux --
dans un espace réduit.
C'est pourquoi cette courbe s'appelle également "remplissage d'espace".
Il existe de nombreuses autres exemples de structures de remplissage d'espace dans la nature, tels
les veines, artères et capillaires qui véhiculent le sang dans le corps;
les racines des plantes qui poussent dans le sol; et
les structures à l'intérieur du cerveau.
Dans tous ces exemples,une sorte de géométrie fractale est employée
pour optimiser l'agencement de la matière à confiner dans de petits espaces.
Vous en verrez plus sur ce sujet dans la partie qui traite de mise à l'échelle.