Pongamos todo esto en perspectiva añadiendo algunos números
Para que sea más sencillo, pongamos que la longitud del segmento inicial es de 1 metro
luego fijémonos en una tabla que emplea nuestra fórmula para la longitud de la curva
esto es, 4 elevado al núemro del nivel, dividido entre 3 elevado al número del nivel, multiplicado por 1 (4^N/3^N)*1
Esto es 1 metro (1m) aquí
Podéis observar que, al aumentar el nivel, la longitud de la curva también aumenta.
¿Por qué ocurre esto?
Bueno, la razón es que en cada paso dividimos la longitud del segmento entre 3
pero, multiplicamos el número de segmentos por 4
Eso hace que el número de segmentos aumente más rápido de lo que disminuye su longitud.
Así, para el nivel 100 la longitud de cada segmento será extremadamente pequeña
del orden de 10 elevado a -48 (10^(-48))
es decir, tendremos un decimal seguido por 48 ceros antes de que aparezca un número distinto de cero
pero, el número de segmentos ha crecido astronómicamente, del orden de 10 elevado a 60 (10^60)
Así que la longitud de la curva es 3.1 billones de metros (3.1*(10^12) metros)
En términos más familiares, esto significa que la longitud de la curva en el nivel 100 es
3 mil millones de kilometros (3 x 10^9 Km) o 2 mil millones (2 x 10^9) de millas.
Es realmente impresionante.
Piensa por un momento lo que eso significa
Eso significa que, aunque nuestra curva cabe en una regla de 1 metro,
es capaz de concentrar, gracias a esos pequeños recovecos y ranuras, como vimos en la línea de costa,
una enorme cantidad de distancia.
Este no es el nivel 100 -no podríamos ver los pequeños recovecos y ranuras-
pero en el nivel 100, la curva podría concentrar alrededor de 2 mil millones de millas, en tan sólo 1 metro de longitud.
Es alucinante.
Por supuesto, no vemos esas cantidades concentradas en estructuras fractales naturales,
pero nos da una pista de por qué la naturaleza prefiere estructuras fractales.
Es una forma muy eficiente de acumular grandes cantidades de material
-ya sean ramas de árboles, cogollos de brécol, o paisajes montañosos-
en muy poco espacio.
Esta curva es lo que se llama una "llenadora de espacio"
Hay otros muchos ejemplos en la naturaleza de estructuras llenadoras de espacio como
las venas, arterias y capilares que forman el sistema de transporte sanguíneo del cuerpo;
las raíces de las plantas que crecen en el suelo; y
las estructuras cerebrales.
Todos estos ejemplos emplean algún tipo de geometría fractal
para optimizar la cantidad de material que pueden concentrar en un espacio pequeño.
Oíremos más acerca de esto en la unidad sobre escalado.