Întrebarea carea a rămas este:
”Care este lungimea reală a unui obiect, cum este o linie de coastă,
care este un fractal, care are un aspect neuniform auto similar, sau un aspect ne-uniform pe mai multe nivele?”
Așa cum vom proceda în cazul tuturor conceptelor complexe din cadrul acestui curs, vom răspunde la această întrebare analizând un model ideal simplificat.
Mai întâi, trebuie să precizez că fractalii sunt conectați în profunzime cu sistemele dinamice prin conceptul de iterație.
Asta înseamnă că fractalii sunt creați printr-un proces de iterație asemănător cu iterația pe care am făcut-o în cazul graficului logaritmic.
Pentru a ilustra acest lucru mă voi concentra pe un fractal simplu și frumos numit Curba Koch
A fost inventat la începutul anilor 1900 de către matematicianul suedez, Helga von Koch.
Construim acest fractal începând cu o curbă simplă.
Aici, avem un segment drept, și repetăm o regulă simplă pe această curbă.
Această regulă spune: la fiecare interval de timp succesiv se ia fiecare segment
... aici avem un singur segment...
se elimină treimea din mijlocul său,
și se înlocuiește cu un unghi
ale cărui laturi au lungimea de 1/3 din lungimea segmentului original.
Acum avem o figură nouă cu 4 segmente,
fiecare segment având lungimea de 1/3 din lungimea segmentului original.
Acum trecem la nivelul următor, pentru a repeta procesul aplicăm aceeași regulă în cazul fiecăruia dintre cele 4 segmente.
Astfel, în cazul fiecărui segment
ștergem treimea din mijloc
și se înlocuiește segmentul din mijloc de 1/3 cu un unghi
ale cărui laturi au lungimea de 1/3 din lungimea segmentului original.
Sigur, fac acest lucru de mână deci proporțiile au valori aproximative, dar voi înțelegeți.
Acum avem o figură nouă care are 16 segmente și
putem repeta procesul încă o dată aplicând regula noastră.
Ștergem treimea din mijloc a fiecărui segment și
se înlocuiește segmentul din mijloc de 1/3 cu un unghi
ale cărui laturi au lungimea de 1/3 din lungimea segmentului original.
Bun, sper că v-ați prins care este ideea, haideți să facem acest lucru cu mai multă acuratețe.
Am modificat unul din modele din biblioteca programului NetLogo
numit KochCurve.nlogo
și l-am postat pe pagina noastră de web cu materiale pentru curs.
Haideți să ne uităm la el aici.
Dacă fcem click pe ”Setup” apare segmentul nostru,
acest segment roșu...
și de fiecare dată când fac click pe ”Step” regula noastră va fi aplicată.
Astfel,
Aplicăm o dată.
Acum programul va aplica regula în cazul fiecărui segment etc...
După ce repetăm procesul de câteva ori vedem că, dintr-un anumit punct de vedere,
putem considera modelul ca o linie de coastă ideală.
Acum ne putem pune întrebarea, pe măsură ce repetăm procesul de mai multe ori:
”care este lungimea acestei linii de coastă?”
Putem măsura lungimea curbei la nivelul 0
pe care o avem dacă facem click pe ”Setup”.
Acesta este segmentul nostru original.
Apoi putem măsura lungimea la nivelul 1, la nivelul 2, la nivelul 3, 4 etc.
Dacă măsurăm lungimea segmentelor la aceste niveluri succesive
observăm un proces prin care lungimea liniei se micșorează cu fiecare pas.
Ne întoarcem la Nivelul 0 unde avem segmentul original.
Acum facem un tabel dacă creăm o notă aici.
Scriu cu litere de dimensiuni mici astfel încât să am textul pe o singură linie.
Și voi face măsurători pentru fiecare nivel.
Voi măsura: lungimea segmentelor - denumim asta ”SegLength”,
numărul segmentelor - denumim asta ”NumSegs”
și lungimea curbei.
Pentru segmentul inițial, adică la Nivelul 0, lungimea segmentului, adică segmentul nostru de linie
o denumim L,
numărul de segmente est 1 deci lungimea curbei este L.
OK, haideți să facem ca lucrurile să arate mai frumos.
Îl voi extinde puțin,
asta, ca să ne amintim ce măsurăm la fiecare nivel.
Mergem la Nivelul 1 și aplicăm regula.
Lungimea fiecărui segment este 1/3 din lungimea segmentului inițial,
și avem un total de 4 segmente
deci lungimea totală a figurii este de 4/3L.
Ce se întâmplă la Nivelul 2?
Aplicăm regula pentru fiecare segment de la Nivelul 1.
Asta înseamnă că o aplicăm de 4 ori.
Noua figură arată astfel.
Acum, avem un mic chestionar.
Care este lungimea figurii la acest nivel?