La domanda con la quale ci siamo lasciati è:
"Qual è la lunghezza reale di un oggetto, come una costa,
che è un frattale e che presenta delle rugosità auto-simili su scale molto differenti?"
Così come per tutti i concetti complicati di questo corso, risponderemo a questa domanda utilizzando un modello semplificato, idealizzato.
Per prima cosa, devo segnalare che i frattali sono profondamente connessi ai sistemi dinamici tramite il concetto di iterazione.
Cioè, i frattali sono creati con un processo iterativo che ricorda l'iterazione di cui abbiamo parlato nell'esempio della mappa logistica.
Per illustrare ciò, mi focalizzerò su un frattale particolare, semplice e bello, chiamato Curva di Koch.
Fu inventato nei primi anni del 1900 dal matematico svedese Helge von Koch.
Costruiamo questo frattale partendo con una curva semplice,
che è un segmento, iterando su questa curva una regola semplice.
La regola dice: ad ogni passo temporale successivo, considerare ogni segmento
-- qui abbiamo solo un segmento --
eliminare il terzo centrale
e sostituire il terzo centrale con un angolo
in cui ogni lato è pari ad un terzo della lunghezza del segmento di partenza.
Ora abbiamo una nuova figura con quattro segmenti,
ogni segmento di lunghezza pari ad un terzo della lunghezza del segmento di partenza.
Ora, per procedere al passo successivo e iterare tutto ciò, applichiamo la stessa regola ad ognuno di questi quattro segmenti.
Questo vuol dire che per ogni segmento
cancelliamo il terzo centrale e
sostituiamo il terzo centrale con un angolo
costituito da lati che sono di lunghezza un terzo della lunghezza del segmento originale.
Ovviamente sto facendo tutto ciò a mano, quindi le proporzioni sono solo approssimate, ma si capisce l'idea.
Ora abbiamo una nuova figura che ha sedici segmenti e
possiamo iterare un'altra volta applicando la nostra regola.
Cancelliamo il terzo centrale di ogni segmento e
sostituiamo il terzo centrale con un angolo
i cui lati sono un terzo della lunghezza del segmento di partenza.
Bene, spero che abbiate colto l'idea, ma proviamo a farlo con un po' più di cura.
Ho adattato uno dei modelli della libreria di NetLogo
chiamato KochCurve.nlogo
e l'ho messo sulla pagina dei materiali del corso.
Diamogli un'occhiata.
Se clicchiamo su "setup" otteniamo il nostro segmento --
che è questo segmento rosso
-- ed ogni volta che clicco "step" verrà applicata la nostra regola.
E via.
Lo applica una volta.
Ora applica la stessa regola ad ogni segmento e così via.
Dopo che iteriamo un po' di volte possiamo vedere che, in un certo senso,
questa può essere considerata come una costa idealizzata.
Ora possiamo chiedere, mano a mano che iteriamo un numero crescente di volte,
"Qual è la lunghezza di questa costa?"
Per prima cosa possiamo misurare la lunghezza della curva a livello 0
che otteniamo cliccando su "setup".
Si tratta del segmento di partenza.
Poi possiamo misurare la lunghezza al livello 1, livello 2, livello 3, 4, e così via.
Misurare la lunghezza a questi livelli successivi è essenzialmente
il procedimento di riduzione del righello ad ogni passo.
Torniamo a livello 0, dove abbiamo il segmento di partenza.
Ora facciamo una tabella creando una nota.
Rimpicciolisco il carattere in modo da averla tutta su una riga.
E per ogni livello
misurerò la lunghezza del segmento -- chiamiamola SegLength --
il numero di segmenti -- chiamiamolo NumSegs --
e la lunghezza della curva.
Per il segmento iniziale -- quello a livello 0 -- nella colonna della lunghezza del segmento inseriamo la lunghezza di tutto il segmento
Chiamiamola semplicemente L.
Il numero di segmenti è pari a uno, quindi la lunghezza della curva è semplicemente pari a L.
Ok, adesso abbelliamolo un po'.
Mi limito ad allargarlo,
così questo ci ricorderà che cosa stiamo misurando ad ogni livello.
Adesso passiamo al livello 1 e applichiamo la nostra regola.
Ogni nuovo segmento è un terzo della lunghezza del segmento originario,
e in totale abbiamo quattro segmenti
quindi la lunghezza di tutta la figura è pari a 4/3L.
Che accade al livello 2?
Applichiamo la nostra regola ad ognuno dei segmenti del livello 1.
Cioè la applichiamo quattro volte.
La nuova figura è questa.
Adesso un veloce quiz.
Qual è la lunghezza della figura a questo livello?