La question à laquelle nous étions restés était :
"Quelle est la longueur d'un objet, tel qu'une côte maritime,
qui est une fractale, parcourue d'aspérités ou autres formes rugueuses similaires les unes aux autres à différentes échelles? "
Comme pour tous les concepts complexes présentés dans ce cours, nous allons aborder cette question en observant un modèle simplifié, idéalisé.
Premièrement, je veux souligner que les fractales sont intimement liées aux systèmes dynamiques de par le concept d'itération
A savoir - les fractales sont générées par un processus itératif similaire aux itérations que nous avions effectuées sur l'exemple de la Suite Logistique.
En guise d'illustration, examinons une fractale, particulièrement simple et néanmoins élégante, appelée "Flocon de Koch".
Elle fut inventée à l'aube des années 1900 par un mathématicien suédois nommé Helga von Koch.
Cette fractale se construit en commençant par une simple courbe
- ici, un segment droit - et en itérant une règle simple sur cette courbe.
Cette règle simple commande qu'à chaque étape, l'on prend chaque segment,
- ici, nous n'en avons qu'un -
on en supprime un tiers en son centre,
et l'on remplace ce tiers central par un angle
dont chaque coté a pour longueur le tiers du segment original.
Nous avons à présent une nouvelle forme à quatre segments
chaque segment équivaut au tiers de la longueur du segment d'origine.
Maintenant, pour l'étape suivante, l'itération suivante, nous appliquons la même règle à ces quatre segments.
A savoir, pour chaque segment,
nous effaçons le tiers central et
remplaçons ce tiers central par un angle
composé de côtés chacun égal au tiers de la longueur de leur segment original.
Bien entendu, je fais cela manuellement, les proportions sont donc approximatives, mais l'idée est là.
Nous obtenons alors une nouvelle forme à seize segments et
nous pouvons réitérer notre règle.
Effacer le tiers central de chaque segment et
remplacer le tiers central par un angle
aux côtés égaux au tiers de la longueur du segment original.
Bref, j'espère vous avoir fait comprendre l'idée. Cependant, tentons de la rendre encore plus nette.
J'ai adapté un des modèles de la librairie de NetLogo
appelé KochCurve.nlogo
et je l'ai mis en lien dans la page des supports de cours (NdT. "Course Materials")
Regardons ceci
En appuyant "setup", on obtient notre segment
- ce segment rouge, là -
et à chaque clic sur "step", j'applique nos règles.
Allons-y.
Appliquez-la une fois.
A présent, on applique cette même règle à tous les segments, ect...
Après plusieurs itérations, on voit que, en un sens,
nous pourrions avoir devant nous une côte maritime.
Une question se pose alors : à mesure que nous itérons de plus en plus,
"Quelle est la longueur de la côte ?"
Nous pouvons, dans une premier temps, mesurer la courbe à l'étape 0
mesure que nous obtenons en cliquant "setup".
C'est uniquement ce segment original.
Maintenant, nous pouvons mesurer les longueurs au étapes 1, 2, 3, 4 et ainsi de suite.
En somme, mesurer la longueur à ces étapes successives revient à
réduire l'unité de mesure à chaque étape.
Revenons à l'étape 0, au segment initial.
Et créons un tableau en ajoutant une note ici.
Je minimise la taille des caractères, pour avoir tout affiché sur une seule ligne.
Et je vais mesurer à chaque étape.
Je vais mesurer le segment - appelons cela SegLength -
le nombre de segments - appelons le NumSegs -
et la longueur de la bordure.
Au segment initial - à l'étape 0 - la longueur du segment et la longueur de notre segment droit.
Appelons le L , tout simplement.
Le nombre de segment égale 1, donc la longueur de la bordure est L.
OK. Réajustons un peu tout cela.
Je vais l'étirer,
de sorte que cela nous serve à noter nos mesures à chaque étape.
A prèsent allons à l'étape 1 et appliquons notre règle.
Chaque segment équivaut à un tiers du segment initial,
et nous avons un total de quatre segments
soit une longueur totale de 4/3L.
Qu'en est-il de la 2e étape ?
L'on applique notre règle à chacun des segments de l'étape 1.
Cela veut dire que nous l'appliquons quatre fois.
La nouvelle forme ressemble à cela.
A présent voici un petit quiz.
Quel est la longueur de la bordure à cette étape ?