La pregunta que habíamos dejado era
¿Cuál es la longitud real de un objeto, como una línea de costa,
que es un fractal y que presenta rugosidad auto-similar a escalas muy diferentes?
Como haremos con todos los conceptos complejos de este curso, vamos a abordar esta pregunta observando un modelo simplificado, idealizado.
Primero, debo aclarar que los fractales están muy conectados a los sistemas dinámicos a través del concepto de iteración.
Es decir, los fractales se forman a través de un proceso iterativo que recuerda la iteración que realizamos en el ejemplo del Mapa Logístico.
Para ilustrar esto, me voy a centrar en un fractal sencillo y a la vez hermoso, llamado La Curva de Koch.
Fue inventado en el año 1900, por el matemático sueco Helga von Koch.
Para crear este fractal comenzaremos con una curva simple
Aquí, un segemento de línea recta, iteraremos una regla sencilla en esta curva
Esta regle dice que: en cada paso, tomemos cada segmento
-aquí sólo tenemos un segmento-
eliminemos el tercio central
y reemplacemos el tercio central por un ángulo
en el que cada lado tenga un tercio de la longitud del segmento original
Ahora tenemos una nueva figura con cuatro segmentos
la longitud de cada segmento es un tercio de la longitud del segmento original.
Ahora, para seguir con el siguiente paso, para iterar esto, aplicaremos la misma regla a cada uno de los cuatro segmentos
Es decir, para cada segmento,
eliminamos el tercio central
y lo sustituimos por un ángulo
cuyos lados tienen una longitud que es la tercera parte del segmento original.
Todo esto lo estoy haciendo a mano así que, las proporciones son sólo una aproximación, pero podéis haceros una idea.
Ahora tenemos una nueva figura con 16 segmentos y
podemos hacer una nueva iteración aplicando la misma regla.
Borramos el tercio central de cada segmento
lo sustituimos por un ángulo
cuyos lados tienen una longitud que es un tercio del segmento original.
Bien, con suerte habéis entendido la idea, pero vamos a intentar hacerlo de una forma más primorosa.
He adaptado uno de los modelos de la biblioteca de NetLogo
llamado KochCurve.nlogo
y lo he colgado en la página de recursos del curso.
Vamos a buscarlo aquí
Si hacemos "setup" obtenemos nuestro segmento lineal
este es este segmento lineal rojo
y cada vez que hago "step" va a aplicar nuestra regla.
Ahí vamos.
La aplicamos una vez
Ahora aplicará la misma regla a cada segmento, y así sucesivamente.
Tras muchas iteraciones podemos ver que, de alguna forma,
podríamos considerar esto como una línea de costa idealizada.
Ahora podríamos preguntarnos lo siguiente, conforme vamos iterando un número cada vez mayor de veces
¿cuál es la longitud de esta línea de costa?
En primer lugar, podemos medir la longitud de la curva en el nivel 0
que obtendremos al clicar en "setup"
Es exactamente el segmento original.
Luego podemos medir la longitud en los niveles 1, 2, 3, 4 y así sucesivamente.
Medir la logitud en los distintos niveles es básicamente lo mismo que
el proceso de reducir nuestra regla (de medir) a cada paso.
Volvamos al nivel 0 en el que teníamos el segmento original
ahora hagamos una tabla crando una mota aquí
Estoy reduciendo la fuente paa que quepa todo en una línea
y voy a hacer la medición para cada nivel.
Mediré la longitud del segmento -que llamaré SegLength-
el número de segmentos -lo llamaré NumSegs-
y la longitud de la curva.
La longitud del segmento inicial -es decir, en el nivel 0- es la longitud de nuestro segmento lineal
la lamaremos L
El número de segmentos es 1, así que la longitud de la curva es igual a L.
Ok, aumentemos esto un poco
voy a estirarlo,
de esta forma recordaremos qué estamos midiendo en cada nivel.
Ahora vamos al nivel 1 y aplicamos nuestra regla
cada nuevo segmento mide la tercera parte de nuestro segmento original
y tenemos un total de 4 segmentos
por lo tanto, la longitud total de la figura es 4/3*L
¿Qué hay del nivel 2?
Aplicamos nuestra regla a cada uno de los segmentos del nivel 1
por lo tanto, la aplicamos 4 veces.
Esta es la nueva figura
Bien, ahora viene una pregunta
¿Cuál es la longitud de la figura en este nivel?