Die Frage die uns blieb war
Was ist die wahrhafte länge eines Objektes sowie eine Küste -
ein Fraktal mit Selbst-Ähnlichen Details auf verschiedenen Maßstäben?
Sowie mit anderen Komplexen Konzepten in diesem Kurs, behandeln wir diese Frage mit einem simplen, idealisiertem Model.
Man merke, durch dem Konzept der Iteration sind Fraktale eng mit dynamischen Systemen verknüpft.
Das heißt, Fraktale entstehen aus einem iterativem Prozess, erinnernd an unser Logistic Map Beispiel.
Als Anschauung, benutzte ich ein einfaches jedoch schönes Fraktal namens Koch Kurve.
Erfunden wurde es (ca. 1900) von einem schwedischen Mathematiker, Helga von Koch.
Um es zu konstruieren fangen wir mit einer einfachen Kurve an.
Hier, eine gerade Linie, an der wir eine einfache Regel iterativ anwenden werden.
Die Regel besagt: bei aufeinanderfolgenden Zeitschritten das Linien-Segment nehmen
- hier haben wir nur ein Segment -
ein drittel davon in der Mitte streichen,
und es mit einem Winkel ersetzten
wobei jede Seite davon ein drittel der länge des Originals hat.
Jetzt haben wir eine neue Form mit vier Segmenten,
jedes Segment mit einer länge gleich ein drittel des Originals.
Im nächsten iterativen Schritt wenden wir dieselbe Regel an den übrigen vier Segmenten an.
Nochmal, für jedes Segment,
streichen wir ein drittel in der Mitte
und wir ersetzten das Drittel mit einem Winkel
bestehend aus zwei Seiten - jede Seite ein drittel der länge des Originals.
Weil ich das hier durch Handarbeit mache sind die Proportionen ungenau, aber die Idee ist klar.
Jetzt haben wir eine neue Form mit 16 Segmenten und
wir können unsere Regel noch einmal anwenden.
Das Mitte drittel jedes Segments streichen und es durch einen
Winkel ersetzten aus zwei Seiten
die gleich einem drittel der länge sind.
Gut, hoffentlich ist die Idee klar. Lasst uns diese Übung ordentlicher ausführen.
Ich habe dafür eines der Netlogo Modele,
namens KochCurve.nlogo,
angepasst, und habe es auf die Webseite geladen.
Schauen wir es uns hier an.
Bei druck auf "setup" erzeugen wir unser Linien-Segment -
diese rote Linie hier -
und bei jedem druck auf "step" wird unsere Regel ausgeführt.
Da haben wir es.
Einmal ausführen.
Jetzt gilt die Regel für jedes Segment usw
Nach einigen Iterationen könnte man die
Form als eine idealisierte Küstenlinie betrachten.
Jetzt, je mehr wir iterieren, können wir uns fragen,
"Was ist die länge dieser Küstenlinie?"
Wir können unsere erste messung auf Ebene 0 machen -
wir erreichen dass durch druck auf setup.
Das ist nur unser Original Segment.
Dann können wir die länge auf Ebene 1, 2, 3, 4, usw. messen.
Längen auf verschiedenen Ebenen zu messen ist im Prinzip
das gleiche wie ein kleineres Lineal zu benutzten.
Zurück zur Ebene 0, dass unseres Original Segments.
Dieses mal machen wir hier eine Tabelle.
Ich benutzte eine kleine Font sodass alles auf eine Linie passt.
Für jede Ebene werde ich folgende Messungen machen:
Die Segment Länge - nennen wir diese Variabel SegLength -
die Anzahl von Segmenten - NumSegs -
und die Kurven länge.
Das erste Linien-Segment (auf Ebene 0) ist ganz einfach die länge unserer Linie.
Bezeichnen wir es "L".
Die Anzahl von Segmenten ist gleich eins, also ist die Kurven länge L.
OK, machen wir dass ordentlicher.
Ich strecke dass ein bisschen aus
als Gedächtnisstütze für unsere Messungen auf jeder Ebene.
Jetzt wenden wir unsere Regel auf Ebene 1 an.
Jedes Segment ist nur ein drittel der Original länge,
und wir haben insgesamt vier Segmente
also ist die Kurven-länge 4/3L.
Was ist mit Ebene 2?
Unsere Regel gilt jetzt für jedes Segment aus Ebene 1.
Das heißt, unsere Regel wird vier mal angewandt.
Die neue Form sieht so aus.
Jetzt ein kleines Quiz.
Was ist die länge der Form auf dieser Ebene?