让我们先来回顾一下我们目前为止所学的内容
观察Logistic映射的目的是
让我们了解什么是混沌现象
混沌指对起始状态非常敏感的看起来随机的行为
Logistic映射是一个简单并且完全确定的公式
但当我们反复迭代它的时候，在某些R的取值下，它会表现出这种看起来完全随机并且对起始值有敏感依耐性的现象
Logistic映射本身丝毫不具备随机性
下一个x的取值完全由之前x的取值所决定
但我们仍会看到这种随机现象
这被称为确定性的混沌
这里的混沌来自于完全确定的系统或公式
从这里我们可以明白
对于一个确定性混沌系统来说
完美的预测以及我们之前所看到的拉普拉斯设想中那个确定的、精确地宇宙是不可能的
即使理论上也不可能，因为我们无法知道初始状态的精确值
这个影响重大的负面结论和量子力学一起扫除了
对19世纪人们对牛顿力学下钟表般的宇宙会一直遵循既定的道路可预测地发展下去的乐观看法
那么有哪些好消息呢？
动态系统理论尝试去探索随时间变化的系统中的普遍原理
经过许多人的努力以及对Logistic映射和其他类似的确定性方程
许多惊人的重要而有用的结果被发现了
我们将其称之为”混沌中的普遍性(Universality in Chaos)“
也就是广泛存在于混沌系统中的某些特性
简单来说，尽管我们无法精确地对混沌系统做出预测
很多混沌系统却拥有一些可以预测到的普遍特性
让我们来看看有哪些这样的性质
回到我们的Logistic映射分支图
其中反映了由周期倍增到混沌的过程
并且我们看到了不同种类的吸引子 还记得定点吸引子么？
我们还有周期性吸引子
由此延伸出来的混沌中存在着所谓的”混沌吸引子(Chaotic Attractor)“
也被称之为"奇异吸引子(Strange Attractor)"
混沌吸引子系统中有一些有趣的结构
其中包括某些系统会重新表现出的周期性的地方
这点非常有趣，不过超出了我们这个课程所囊括的范围
这里还有一些令人惊讶的有趣的性质
那就是，这种周期加倍最终变为混沌的现象
也会在很多其他的混沌系统中出现
这种包含了周期加倍现象的混沌系统被称之为
”单峰映射(the unimodal or one-humped maps)“
就像我们现在所看到的Logistic映射一样
抛物线上有一个峰值
自然界中有许多具有类似现象的系统
他们全部都有周期加倍进而表现出混沌的特性
正弦映射是另外一个表现出单峰性质的映射
它被称为正弦映射因为它用到了三角函数中的正弦函数
这就是它的图像
x sub t plus 1 = R/4 sin of (pi x sub t)
就算你已经把三角形忘了个精光也不用担心
只要把它想做是一个跟Logistic映射一样可以反复迭代的数学方程就好
注意这里x不再表示种群数量
我们现在步入了抽象数学方程的领域
只要x可以表示任何东西，只要它取值在0和1之间
一般R/4这项常被写作希腊字母λ
为了和之前Logistic映射中的R联系起来，我任把它写作R/4
不过只要把它当成一个我们要进行反复迭代的函数就好
我已经把正弦映射编写成了一个NetLogo模型
你可以从课程资料网页里下载到
然后你可以看到它也形成了一个抛物线
或者所谓的单峰映射，就跟Logistic函数一样
它同样也表现出了周期加倍进而混沌的特性
在课程资料网页，模型的名字叫做sinemap.nlogo
我们现在已经见过了单峰隐射中的混沌系统所具备的一个普遍特性
那就是周期加倍进而表现出混沌的现象
不过这里还有另一个更令人惊讶的普遍性质在1970到1980年代
被几组科学家们发现了
我会通过Logistic映射的分支图来解释
在1970年代，物理学家米切尔·费根鲍姆(Mitchel Feigenbaum)深入地研究了这种映射
他尽其所能地精确地测量了分支现象出现的那些点
他发现周期2的分支出现在R=3.0的时候
周期4出现在这个值
周期8是这个值
而周期16是这个值等等
直到最后，当R大约等于3.569946……的时候
我们的周期变成了无穷大，也就是说，我们有了个非周期性的混沌系统
而这个点便被成为“混沌边缘(the onset of chaos)“
你可能已经发现了，分支在我们增加R的值得过程中变得越来越快
所以从0.24到0.30是很大的一个跨度
从0.30到0.34也有一定距离，不过要短了不少
之后便会越来越短
所以费根鲍姆接下来计算了分支之间距离缩短的速率
缩短速率定义为这个距离与到下一个分支的距离之比
也就是从周期2到周期4分支之间的距离除以
从周期4到周期8分支之间的距离等等
每一个这样的比值都反映了分支间距离缩短的速率
让我们来从数学的角度看这些比值
第一个比值是是周期2和周期4分支之间的距离，也就是R2-R1，除以
周期4和周期8分支之间的比值
我们得到4.7514……
这是我们队分支之间的距离缩短速率的第一个估值
好，接下来我们可以计算下一组数据
用周期4和周期8分支之间的距离除以周期8和周期16之间的距离
我们得到4.656…… 我们可以继续重复下去
费根鲍姆用一个桌面计算器进行了所有计算，之后他又用了一台快些的电脑
他发现，如果我们不断计算下去，当Rs变得越来越大的时候
比值开始趋近于4.6692016……
数学中，我们称之为当n趋近于无穷大时R n+1 - R除以 R n+2 -R n+1的极限
如果你不太熟悉极限这个定义，不用担心
只要注意这里的这些例子，你就会发现
当我们增加分支数量，我们将会越来越接近这个值
换句话说，每一个新的分支都会比上一个更快这么多倍出现
这就是费根鲍姆的发现
这个数值现在被称为费根鲍姆常数(Feigenbaum's constant)
因为他不仅在发现这个值之后从数学上做出了推导
他还建立了一整套理论来证明为什么这是数学上正确的
他还解释了任何单峰映射
例如Logistic映射或者正弦映射
都会拥有这同一个的速率
所以这个数值是单峰映射混沌系统的普遍常数
这个数值同样也在从流体、电路、镭射、化学反应等许多系统中被实验观察到
另一个令人惊讶的事实是
几乎在费根鲍姆进行这项研究的同一时间，另一个研究团队也在进行同样的研究：
法国数学家皮埃尔·科莱(Pierre Collet)和查尔斯·特雷斯(Charles Tresser)
他们完全独立于费根鲍姆
因此，有时候这个共同发现也被称为
费根鲍姆-克莱-特雷斯理论(The Feigenbaum, Collet, Tresser Theory)
总之，让我们按照对于复杂系统的重要性来谈一下我们这单元中所学到的有关动力系统中的混沌的知识
也许其中最重要的是
我们见到了有关从例如Logistic映射这样非常简单的决定性法则中延伸出复杂、不可预测的行为的例子
我们还学到了动力系统理论给我们用来描述复杂行为的词汇
比如”吸引子(attractor)"和"通过周期加倍产生混沌(period doubling route to chaos)"等等
我们已经见过了因混沌系统对初始状态有敏感依赖性而产生的精确预测所面临的根本性局限
同时我们也见到了混沌系统中的一些普遍特性
我们将其称之为"混沌中的秩序(order in chaos)“