...
Давайте на минуту остановимся и подведем итоги, того, что мы уже увидели.
Цель рассмотрения логического отображения
была иллюстрация феномена хаоса,
который обозначен, казалось бы, случайным поведением
и высоко чувствителен к начальным условиям.
Логистическое отображение простое, полностью детерминированное уравнение,
которое на каждой итерации, может показать, казалось бы, случайное
поведение с чувствительной зависимостью (Зависти от значения R).
В логистическом отображении нет случайности.
Следующее значение x полностью зависит, от того каким было
предыдущее значение x.
И все же мы видим, казалось бы, случайное поведение.
Это называется детерминированным хаосом. Хаос возникает из
полностью детерминированной системы или уравнения.
И из этого мы можем извлечь то, что если у нас есть
детерминированный хаос, вроде
"Детерминированного часового механизма вселенной" Лапласа, который рассматривался ранее, то точное предсказание не возможно,
в принципе, так как мы не можем знать
точное значение начальных условий.
Это глубокий отрицательный результат, который помог, наряду с квантовой механикой, в оптимистичном 19 веке
помог уничтожить часовой механизм ньютоновской вселенной, который продолжал идти по своей предсказуемой траектории детерминированным образом.
Но в чем же позитивный посыл?
Динамическая теория систем является попыткой обнаружить общие принципы, касающиеся системы, которые изменяются с течением времени.
Благодаря работе многих людей и изучению логистического отображения
и других подобных детерминированных уравнений, результат был удивительно глубоким и
принес положительные результаты, которые показали то, что мы собираемся называть универсальность в хаотических системах..
То есть, характеристики, которые являются универсальными в определенном широком наборе хаотических систем.
Короче говоря, в то время как хаотические системы не предсказуемы в деталях,
существует широкий класс хаотических систем, которые имеют весьма предсказуемые универсальные свойства.
Давайте посмотрим на это.
Вспомним диаграмму бифуркаций нашего логистического отображения,
которая показала период удвоения на маршруте к хаосу.
И у нас были разные, так называемые, режимы аттракторов. Помните наши фиксированные точки аттракторы?
И у нас был наш периодический режим аттрактора.
И это привело нас в область хаоса,
которая называется аттрактор - также известную как странный аттрактор.
Обратите внимание, что есть некоторая красота в структуре аттрактора в хаотическом режиме,
в том числе где системы возвращается к переодичности.
Разговор о том, что действительно интересно, выходит за рамки данного конкретного курса.
Но есть нечто, что действительно удивительно и интересно
и что то есть в этом, периоде удвоения на маршруте к хаосу
то что мы видим здесь, также появляется во многих других хаотических системах
Виды систем содержащие "периодический маршрут с удвоением" появляется в так называемом
одновершинном или одногорбовом отображении.
Так же как мы можем видеть логистическое отображение,
вы можете увидеть горб параболы.
И существует много подобных систем в природе с подобным
поведением. . Все они имеют один и тот же период удвоения на маршруте
к хаосу. Другое отображение, которое показывает одновершинное поведение,
это так называемая синусоидальное отображение.
Это называется синусоидальным отображением, потому что в нем используется функция синуса
Вот как это выглядит
x с индексом t + 1 = R/4 sin(pi*x c индексом t)
Теперь, если вы забыли тригонометрию, не волнуйтесь
Просто думайте, что это как особоя математическоя функция, которыа может
повторяться таким же образом, как и логистическое отображения.
И обратите внимание, что здесь х больше не означает популяцию.
Мы, в настоящее время, в области абстрактных математических функций
где х может быть между 0 и 1.
Люди часто пишут R / 4 в качестве греческой буквы лямбда.
Я оставил его в качестве R/4 только, чтобы оставить связь
с предыдущим понятием R в логистическом отображении.
Но подумайте об этом как о конкретной функции
которую мы собираемся повторять.
Мы реализовали синусоидальное отображение, как модель NetLogo
которую ты можешь загрузить с сайта с материалами курса.
И вы можете видеть, что она тоже имеет форму параболы
или отображение с одним горбом, как логистическое.
и это так же отображает характеристику
удвоения периода на путь к хаосу.
На сайте с материалами курса это называется sinemap.nlogo
Так что теперь мы увидели одно универсальное свойство хаоса
в одновершинном отображении которое является периодом удвоения на пути к хаосу.
Но здесь есть, даже более неожиданная, универсальность
открытая в 1970 и 1980
различными группами людей.
Я объясню это, снова глядя на диаграмму бифуркации логистического отображения
В 70-х физик Митчел Фигенбаум
изучал это отображение невероятно глубоко.
И он измерил точно точки в
которых происходят различные бифуркации.
И он обнаружил, что появляется два периода бифуркации
в районе R = 3.0, период 4 этого значения
период 8 для этого значения
период 16 для этого значения и так далее
пока наконец, значение не станет приблизительно 3.569946
получая другие знаки после запятой, мы получаем период бесконечности.
То есть, у нас есть хаос. И он апериодический.
Эта точка называется "Наступление хаоса".
Теперь если вы заметите, эти бифуркации наступают быстрее и быстрее
при изменении R. Т. о. это проходит от 0.24 до 0.30
Это долгое время. И тогда от 0.30 до 0.34 это короче.
И тогда короче и короче и короче.
Т. о Фейгенбаум брал эти бифуркации и он измерил
скорость с которой расстояние между бифуркациями уменьшается.
Скорость, с которой они сжимаются определяется как отношение
этой длины
деленная на длину следующей бифуркации
и тогда отношение этой длины
от периода двух бифуркаций к периоду четырех бифуркаций
деленных на время от периода 4 бифуркаций
до периода 8 бифуркаций и так далее.
Каждое это соотношение измеряет скорость с которой
бифуркации сжимается.
Посмотрите на эти отношения математически.
Так они выглядят.
Первое отношение расстояние между периодом 2 и 4 бифуркации.
Это R2 - R1 деленное на расстояние
между периодом 4 и 8.
Хорошо, что дает нам 4,7514 и т.д., и это наша первая оценка
Скорость, с которой расстояние между бифуркации сокращается.
Хорошо. Тогда мы можем перейти к следующему набору и получить расстояние
между периодом 4 и период 8 деленное на период 8 минус период 16.
Это дает нам 4.656 и т.д. И мы продолжаем делать это
И Фейгенбаум использовал простой компьютерный калькулятор и позже быстрый компьютер
и обнаружил что мы продолжая это получаем R, становящуюся больше и больше. Это число начинает
сходится к значению 4. 6692016
изменяя некоторые десятичные числа.
В математических терминах, это предел n стремящийся к бесконечности
от R c индексом n+1 минус R деленное на R c индексом n+2 минус R c индексом n+1
Но если вы не знакомы с пределами, не беспокойтесь об этом.
Просто посмотрите эти примеры и сможете увидеть как
мы увеличиваем число бифуркации, мы собираемся получить более точное значение.
Другими словами, каждая новая бифуркация сходится
с каждым разом быстрее чем предыдущая
Это и обнаружил Фейгенбаум.
И это число стало называться постоянной Фейгенбаума
потому что, удивительно, не только то что он доказал это математически, после обнаружения
(он разработал полную теорию которая могла бы показать почему это должно быть правдой математически)
он так же показал что эти унимодальная и одногорбовое отображение
как логистическое отображиние или синусоидальное отображение.
мы имеем такое же значение для скорости.
И так это число универсальная константа хаотических систем с одногорбовым отображением
Это число так же экспериментально обнаружена в
числовых системах в диапазоне от жидких потоков до электрических цепей, лазеров, химических реакций и так далее.
Другой замечательный факт в том что это
почти точно то же самое время, что Фейгенбаум внес в свои исследования, было сделано
другой исследовательской группой -- французких математиков Пьери Коллет и Чарльзом Трессером
Они полностью не зависели от Фейгенбаума
И это открытие иногда называют
теория Фейгенбаума-Коллет-Трессера
В целом, давайте посмотрим на то, что мы узнали в этом блоке, как значение динамики в сложных хаотических системах.
Возможно наиболее вероятно, мы увидем пример
в котором сложное, непредсказуемо поведение возникает из
очень простых предсказуемых правил, таких как логистическое отображение
Мы так же увидели что теория динамических систем дает нам
аппарат для описания сложного поведение используя такие термины как
"аттракторы", "период удвоения на пути к хаосу" и так далее
Мы увидели что фундаметальные пределы в деталях
прогноз в системах с хаосом из-за "чувствительной зависимости от начальных условий."
В то же время, мы видели, что существуют универсальные свойства хаотических систем
и мы могли бы назвать это "порядок в хаосе».